\`x^2+y_1+z_12^34\`
Advanced Search
Article Contents
Article Contents

New self-dual and formally self-dual codes from group ring constructions

  • * Corresponding author: Bahattin Yildiz

    * Corresponding author: Bahattin Yildiz
Abstract Full Text(HTML) Figure(0) / Table(7) Related Papers Cited by
  • In this work, we study construction methods for self-dual and formally self-dual codes from group rings, arising from the cyclic group, the dihedral group, the dicyclic group and the semi-dihedral group. Using these constructions over the rings $  \mathbb{F}_2+u \mathbb{F}_2 $ and $  \mathbb{F}_4+u \mathbb{F}_4 $, we obtain 9 new extremal binary self-dual codes of length 68 and 25 even formally self-dual codes with parameters $ [72,36,14] $.

    Mathematics Subject Classification: Primary: 94B05; Secondary: 16S34.

    Citation:

    \begin{equation} \\ \end{equation}
  • 加载中
  • Table 1.  $ \left[ 64,32,12\right] _{2} $ codes via $ C_{mn} $ with $ m = 4,n = 2 $ over $ \mathbb{F}_{4}+u\mathbb{F}_{4} $

    $ \mathcal{C}_{64,i} $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ |Aut(\mathcal{C}_{i})| $ $ \beta $ in $ W_{64,2} $
    $ \mathcal{C}_{64,1} $ $ \left( B,4,6,2\right) $ $ \left( E,9,7,0\right) $ $ 2^{6} $ 0
    $ \mathcal{C}_{64,2} $ $ \left( B,6,6,0\right) $ $ \left( E,3,5,8\right) $ $ 2^{5} $ 4
    $ \mathcal{C}_{64,3} $ $ \left( 9,E,E,0\right) $ $ \left( 6,9,3,A\right) $ $ 2^{5} $ 12
    $ \mathcal{C}_{64,4} $ $ \left( B,4,C,A\right) $ $ \left( 6,B,D,0\right) $ $ 2^{5} $ 16
    $ \mathcal{C}_{64,5} $ $ \left( 3,6,E,0\right) $ $ \left( E,B,F,A\right) $ $ 2^{5} $ 20
    $ \mathcal{C}_{64,6} $ $ \left( 1,E,6,0\right) $ $ \left( C,9,D,8\right) $ $ 2^{5} $ 36
    $ \mathcal{C}_{64,7} $ $ \left( 9,C,E,2\right) $ $ \left( C,9,D,8\right) $ $ 2^{5} $ 48
    $ \mathcal{C}_{64,8} $ $ \left( 3,6,4,8\right) $ $ \left( E,B,F,A\right) $ $ 2^{5} $ 52
     | Show Table
    DownLoad: CSV

    Table 2.  $ \left[ 64,32,12\right] _{2} $ codes via $ C_{mn} $ $ \ $with $ m = 2,n = 4 $ over $ \mathbb{F}_{4}+u\mathbb{F}_{4} $

    $ \mathcal{C}_{64,i} $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{A_{4}} $ $ |Aut(\mathcal{C}_{64,i})| $ $ \beta $ in $ W_{64,2} $
    $ \mathcal{C}_{64,9} $ $ \left( D,6\right) $ $ \left( 8,F\right) $ $ \left( B,0\right) $ $ \left( 4,A\right) $ $ 2^{6} $ 0
    $ \mathcal{C}_{64,10} $ $ \left( D,6\right) $ $ \left( 8,F\right) $ $ \left( B,0\right) $ $ \left( 6,8\right) $ $ 2^{5} $ 4
    $ \mathcal{C}_{64,11} $ $ \left( 7,4\right) $ $ \left( E,0\right) $ $ \left( 8,B\right) $ $ \left( 1,6\right) $ $ 2^{5} $ 12
    $ \mathcal{C}_{64,12} $ $ \left( 4,A\right) $ $ \left( 0,B\right) $ $ \left( C,B\right) $ $ \left( 6,D\right) $ $ 2^{5} $ 16
    $ \mathcal{C}_{64,13} $ $ \left( D,C\right) $ $ \left( 4,2\right) $ $ \left( 8,9\right) $ $ \left( 1,C\right) $ $ 2^{5} $ 20
    $ \mathcal{C}_{64,14} $ $ \left( D,4\right) $ $ \left( 6,8\right) $ $ \left( A,3\right) $ $ \left( 3,4\right) $ $ 2^{5} $ 28
    $ \mathcal{C}_{64,15} $ $ \left( F,4\right) $ $ \left( 8,5\right) $ $ \left( 9,2\right) $ $ \left( C,A\right) $ $ 2^{6} $ 32
    $ \mathcal{C}_{64,16} $ $ \left( 5,6\right) $ $ \left( C,2\right) $ $ \left( A,9\right) $ $ \left( 3,4\right) $ $ 2^{5} $ 36
    $ \mathcal{C}_{64,17} $ $ \left( 5,E\right) $ $ \left( C,A\right) $ $ \left( 8,3\right) $ $ \left( 3,E\right) $ $ 2^{5} $ 44
    $ \mathcal{C}_{64,18} $ $ \left( 8,9\right) $ $ \left( D,A\right) $ $ \left( C,D\right) $ $ \left( D,3\right) $ $ 2^{5} $ 48
    $ \mathcal{C}_{64,19} $ $ \left( D,C\right) $ $ \left( E,0\right) $ $ \left( 8,9\right) $ $ \left( 9,E\right) $ $ 2^{5} $ 52
     | Show Table
    DownLoad: CSV

    Table 3.  $ \left[ 64,32,12\right] _{2} $ codes via $ D_{8} $ over $ \mathbb{F} _{4}+u\mathbb{F}_{4} $

    $ \mathcal{C}_{64,i} $ $ r_{A} $ $ r_{B} $ $ \left\vert Aut\left( \mathcal{C} _{64,i}\right) \right\vert $ $ \beta $ in $ W_{64,2} $
    $ \mathcal{C}_{64,20} $ $ \left( 6,D,7,E\right) $ $ \left( 2,2,4,5\right) $ $ 2^{6} $ 0
    $ \mathcal{C}_{64,21} $ $ \left( C,5,F,4\right) $ $ \left( 2,0,C,D\right) $ $ 2^{5} $ 4
    $ \mathcal{C}_{64,22} $ $ \left( 0,C,8,8\right) $ $ \left( 9,A,B,D\right) $ $ 2^{5} $ 8
    $ \mathcal{C}_{64,23} $ $ \left( 4,B,A,4\right) $ $ \left( E,D,5,C\right) $ $ 2^{4} $ 12
    $ \mathcal{C}_{64,24} $ $ \left( F,8,5,E\right) $ $ \left( A,1,D,9\right) $ $ 2^{4} $ 16
    $ \mathcal{C}_{64,25} $ $ \left( 6,4,9,2\right) $ $ \left( 7,C,C,F\right) $ $ 2^{4} $ 20
    $ \mathcal{C}_{64,26} $ $ \left( E,3,B,1\right) $ $ \left( 0,7,8,1\right) $ $ 2^{5} $ 24
    $ \mathcal{C}_{64,27} $ $ \left( 9,9,8,0\right) $ $ \left( 6,6,1,2\right) $ $ 2^{4} $ 28
    $ \mathcal{C}_{64,28} $ $ \left( 7,0,A,8\right) $ $ \left( F,8,5,C\right) $ $ 2^{6} $ 32
    $ \mathcal{C}_{64,29} $ $ \left( 6,7,7,6\right) $ $ \left( A,2,4,5\right) $ $ 2^{4} $ $ 36 $
    $ \mathcal{C}_{64,30} $ $ \left( 0,6,8,2\right) $ $ \left( 6,3,1,1\right) $ $ 2^{5} $ 40
    $ \mathcal{C}_{64,31} $ $ \left( 5,F,E,E\right) $ $ \left( 4,1,0,C\right) $ $ 2^{4}\times 3 $ 44
    $ \mathcal{C}_{64,32} $ $ \left( F,F,6,6\right) $ $ \left( 4,3,A,4\right) $ $ 2^{5} $ 48
    $ \mathcal{C}_{64,33} $ $ \left( D,D,4,4\right) $ $ \left( 6,B,0,6\right) $ $ 2^{5} $ 52
     | Show Table
    DownLoad: CSV

    Table 4.  $ \left[ 64,32,12\right] _{2} $ codes via $ D_{16} $ over $ \mathbb{F} _{2}+u\mathbb{F}_{2} $

    $ \mathcal{C}_{64,i} $ $ r_{A} $ $ r_{B} $ $ \left\vert Aut\left( \mathcal{C} _{64,i}\right) \right\vert $ $ \beta $ in $ W_{64,2} $
    $ \mathcal{C}_{64,34} $ $ \left( 03331uu0\right) $ $ \left( 0003u013\right) $ $ 2^{5} $ 0
    $ \mathcal{C}_{64,35} $ $ \left( 3031u110\right) $ $ \left( 0u30100u\right) $ $ 2^{5} $ 16
    $ \mathcal{C}_{64,36} $ $ \left( 031u13uu\right) $ $ \left( u01001u1\right) $ $ 2^{5} $ 32
    $ \mathcal{C}_{64,37} $ $ \left( 11013uu3\right) $ $ \left( u003111u\right) $ $ 2^{5} $ 48
    $ \mathcal{C}_{64,38} $ $ \left( 3u13u130\right) $ $ \left( 0u301u0u\right) $ $ 2^{7} $ $ 80 $
     | Show Table
    DownLoad: CSV

    Table 5.  New extremal binary self-dual codes of length $ 68 $

    $ \mathcal{C}_{68,i} $ $ \mathcal{C} $ $ c $ $ X $ $ \gamma $ $ \beta $
    $ \mathcal{C}_{68,1} $ $ \mathcal{C}_{64,29} $ $ 1+u $ $ \left( uu0u33131u1333130u30uu3130113133\right) $ $ 3 $ $ 135 $
    $ \mathcal{C}_{68,2} $ $ \mathcal{C}_{64,29} $ $ 1+u $ $ \left( 00u013331u1131310u30u0111u331313\right) $ $ 3 $ $ 139 $
    $ \mathcal{C}_{68,3} $ $ \mathcal{C}_{64,29} $ $ 1+u $ $ \left( uu0u33333u131133003u0u113u131331\right) $ $ 3 $ $ 143 $
    $ \mathcal{C}_{68,4} $ $ \mathcal{C}_{64,29} $ $ 1+u $ $ \left( uu0011133u311331uu1u0u3110113111\right) $ $ 3 $ $ 151 $
    $ \mathcal{C}_{68,5} $ $ \mathcal{C}_{64,29} $ $ 1+u $ $ \left( u0uu333310311331uu30u0331u331113\right) $ $ 3 $ $ 155 $
    $ \mathcal{C}_{68,6} $ $ \mathcal{C}_{64,29} $ $ 1 $ $ \left( u0u011131u1311110u30u03110113111\right) $ $ 3 $ $ 161 $
    $ \mathcal{C}_{68,7} $ $ \mathcal{C}_{64,38} $ $ 1+u $ $ \left( 33131u0101333uu103310030uu11uu13\right) $ $ 3 $ $ 186 $
    $ \mathcal{C}_{68,8} $ $ \mathcal{C}_{64,38} $ $ 1 $ $ \left( 13131uuu0u0u3033u1u130100310u1u0\right) $ $ 3 $ $ 202 $
    $ \mathcal{C}_{68,9} $ $ \mathcal{C}_{64,38} $ $ 1 $ $ \left( 133330u301331uu30311003uu0130011\right) $ $ 3 $ $ 204 $
     | Show Table
    DownLoad: CSV

    Table 6.  FSD $ \left[ 72,36,14\right] _{2}^{b-1} $codes by $ C_{mn} $ construction over $ \mathbb{F}_{2}+u\mathbb{F}_{2} $

    $ n $ $ m $ $ r_{1},\ldots ,r_{n} $ $ A_{14} $ $ A_{16} $ $ A_{18} $
    $ 2 $ $ 9 $ $ 13u10u000,03u100011 $ $ 8820 $ $ 123039 $ $ 1210564 $
    $ 2 $ $ 9 $ $ 30u0031uu,10u1u3u3u $ $ 8856 $ $ 122850 $ $ 1210492 $
    $ 2 $ $ 9 $ $ u00u31uu1,01uu3u013 $ $ 8784 $ $ 123417 $ $ 1207344 $
    $ 2 $ $ 9 $ $ 3031uu10u,300333u30 $ $ 8928 $ $ 122436 $ $ 1210776 $
    $ 2 $ $ 9 $ $ uu0003103,300u1303u $ $ 9288 $ $ 120690 $ $ 1208328 $
    $ 2 $ $ 9 $ $ 1333u1313,11u3u31uu $ $ 9360 $ $ 119583 $ $ 1216936 $
    $ 3 $ $ 6 $ $ 11010u,30u1u0,103u11 $ $ 8820 $ $ 123327 $ $ 1207092 $
    $ 3 $ $ 6 $ $ u30u33,333130,0301u3 $ $ 9180 $ $ 121194 $ $ 1209304 $
    $ 3 $ $ 6 $ $ 33u101,0u0311,13u1u3 $ $ 9504 $ $ 119151 $ $ 1212760 $
    $ 3 $ $ 6 $ $ 3uuu0u,u31u03,10uu13 $ $ 9648 $ $ 118170 $ $ 1215172 $
     | Show Table
    DownLoad: CSV

    Table 7.  FSD $ \left[ 72,36,14\right] _{2}^{b-1} $codes by $ C_{mn} $ over $ \mathbb{F}_{2} $

    $ n $ $ m $ $ r_{1},\ldots ,r_{n} $ $ A_{14} $ $ A_{16} $ $ A_{18} $
    $ 3 $ $ 12 $ $ 000100000010,110001110110,000010011010 $ $ 8496 $ $ 124911 $ $ 1209160 $
    $ 3 $ $ 12 $ $ 011110101111,010110100010,101011000100 $ $ 8568 $ $ 124362 $ $ 1211068 $
    $ 3 $ $ 12 $ $ 111100000101,100100101100,111000111110 $ $ 9072 $ $ 121653 $ $ 1210816 $
    $ 3 $ $ 12 $ $ 100111000011,011000001011,010001011011 $ $ 9144 $ $ 121221 $ $ 1211328 $
    $ 3 $ $ 12 $ $ 001110100000,000000111000,110111001000 $ $ 9468 $ $ 119601 $ $ 1209700 $
    $ 4 $ $ 9 $ $ 001011011,010011110,001100010,101000011 $ $ 8388 $ $ 125730 $ $ 1206348 $
    $ 4 $ $ 9 $ $ 010110011,100110010,101100111,000101011 $ $ 8712 $ $ 123741 $ $ 1209160 $
    $ 4 $ $ 9 $ $ 001111011,100100100,010101100,010111000 $ $ 8820 $ $ 123039 $ $ 1210564 $
    $ 4 $ $ 9 $ $ 111011010,101110101,111000101,110001001 $ $ 8928 $ $ 122328 $ $ 1212076 $
    $ 4 $ $ 9 $ $ 000010001,111001101,101101110,110011100 $ $ 8928 $ $ 122769 $ $ 1206784 $
    $ 4 $ $ 9 $ $ 110001100,101110111,001100010,100110110 $ $ 9036 $ $ 121761 $ $ 1211868 $
    $ 4 $ $ 9 $ $ 101100101,101110111,010011000,010010110 $ $ 9036 $ $ 121977 $ $ 1208276 $
    $ 6 $ $ 6 $ $ 000100,110100,010111,101000,100000,010111 $ $ 8388 $ $ 125973 $ $ 1203436 $
    $ 6 $ $ 6 $ $ 001010,011001,110010,111011,010100,110101 $ $ 8784 $ $ 123570 $ $ 1206532 $
    $ 6 $ $ 6 $ $ 101001,001110,110110,101000,000110,000100 $ $ 9360 $ $ 120114 $ $ 1210564 $
     | Show Table
    DownLoad: CSV
  • [1] D. AnevM. Harada and N. Yankov, New extremal singly even self-dual codes of lengths 64 and 66, J. Algebra Comb. Discrete Appl., 5 (2018), 143-151.  doi: 10.13069/jacodesmath.458601.
    [2] W. BosmaJ. Cannon and C. Playoust, The Magma algebra system. I. The user language, J. Symbolic Comput., 24 (1997), 235-265.  doi: 10.1006/jsco.1996.0125.
    [3] A. Bovdi and C. A. Szakács, Unitary Subgroup of the group of units of a modular group algebra of a finite abelian $p$-group, Math. Zametki, 45 (1989), 23-29. 
    [4] V. Bovdi and A. L. Rosa, On the order of the unitary subgroup of a modular group algebra, Comm. Algebra, 28 (2000), 1897-1905.  doi: 10.1080/00927870008826934.
    [5] S. Buyuklieva and I. Boukliev, Extremal self-dual codes with an automorphism of order $2$, IEEE Trans. Inform. Theory, 44 (1998), 323-328.  doi: 10.1109/18.651059.
    [6] J. H. Conway and N. J. A. Sloane, A new upper bound on the minimum distance of self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 36 (1990), 1319-1333.  doi: 10.1109/18.59931.
    [7] P. J. Davis, Circulant Matrices, A Wiley-Interscience Publication. Pure and Applied Mathematics. John Wiley & Sons, New York-Chichester-Brisbane, 1979.
    [8] S. T. DoughertyJ.-L. KimH. Kulosman and H. W. Liu, Self-dual codes over commutative Frobenius rings, Finite Fields Appl., 16 (2010), 14-26.  doi: 10.1016/j.ffa.2009.11.004.
    [9] S. T. DoughertyJ. GildeaR. Taylor and A. Tylyshchak, Group rings, $G$-codes and constructions of self-dual and formally self-dual codes, Des. Codes Crypt., 86 (2018), 2115-2138.  doi: 10.1007/s10623-017-0440-7.
    [10] S. T. DoughertyB. Yildiz and S. Karadeniz, Codes over $R_k$, Gray maps and their Binary Images, Finite Fields Appl., 17 (2011), 205-219.  doi: 10.1016/j.ffa.2010.11.002.
    [11] S. T. DoughertyS. Karadeniz and B. Yildiz, Cyclic codes over $R_k$, Des. Codes Crypt., 63 (2012), 113-126.  doi: 10.1007/s10623-011-9539-4.
    [12] S. DoughertyB. Yildiz and S. Karadeniz, Self-dual codes over $R_k$ and binary self-dual codes, Eur. J. Pure and Applied Math., 6 (2013), 89-106. 
    [13] Binary Generator Matrices of New Extremal Binary Self-Dual Codes of Length 68, Available from: http://www.abidinkaya.wix.com/math/research4.
    [14] J. GildeaA. KayaR. Taylor and B. Yildiz, Constructions for self-dual codes induced from group rings, Finite Fields Appl., 51 (2018), 71-92.  doi: 10.1016/j.ffa.2018.01.002.
    [15] T. Hurley, Group rings and rings of matrices, Int. J. Pure Appl. Math., 31 (2006), 319-335. 
    [16] A. Kaya and B. Yildiz, Various constructions for self-dual codes over rings and new binary self-dual codes, Discrete Math., 339 (2016), 460-469.  doi: 10.1016/j.disc.2015.09.010.
    [17] A. Kaya and B. Yildiz, Constructing formally self-dual codes from block $\lambda$-circulant matrices, Math. Commun., 24 (2019), 91-105. 
    [18] J. A. Wood, Duality for modules over finite rings and applications to coding theory, Amer. J. Math., 121 (1999), 555-575.  doi: 10.1353/ajm.1999.0024.
  • 加载中

Tables(7)

SHARE

Article Metrics

HTML views(522) PDF downloads(579) Cited by(0)

Access History

Catalog

    /

    DownLoad:  Full-Size Img  PowerPoint
    Return
    Return