November  2020, 14(4): 677-702. doi: 10.3934/amc.2020037

Composite constructions of self-dual codes from group rings and new extremal self-dual binary codes of length 68

1. 

Department of Mathematics, University of Scranton, Scranton, PA 18510, USA

2. 

Department of Mathematical and Physical Sciences, University of Chester, Thornton Science Park, Pool Ln, Chester CH2 4NU, England

3. 

Department of Mathematics Education, Sampoerna University, 12780, Jakarta, Indonesia

* Corresponding author: Adrian Korban

Received  December 2018 Revised  September 2019 Published  November 2020 Early access  November 2019

We describe eight composite constructions from group rings where the orders of the groups are 4 and 8, which are then applied to find self-dual codes of length 16 over $ \mathbb{F}_4 $. These codes have binary images with parameters $ [32,16,8] $ or $ [32,16,6] $. These are lifted to codes over $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $, to obtain codes with Gray images of extremal self-dual binary codes of length 64. Finally, we use a building-up method over $ \mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2 $ to obtain new extremal binary self-dual codes of length 68. We construct 11 new codes via the building-up method and 2 new codes by considering possible neighbors.

Citation: Steven T. Dougherty, Joe Gildea, Adrian Korban, Abidin Kaya. Composite constructions of self-dual codes from group rings and new extremal self-dual binary codes of length 68. Advances in Mathematics of Communications, 2020, 14 (4) : 677-702. doi: 10.3934/amc.2020037
References:
[1]

W. BosmaJ. Cannon and C. Playoust, The Magma algebra system Ⅰ: The user language, J. Symbolic Comput., 24 (1997), 235-265.  doi: 10.1006/jsco.1996.0125.

[2]

J. H. Conway and N. J. A. Solane, A new upper bound on the minimal distance of self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 36 (1990), 1319-1333.  doi: 10.1109/18.59931.

[3]

S. T. Dougherty, Algebraic Coding Theory Over Finite Commutative Rings, SpringerBriefs in Mathematics, Springer, Cham, 2017. doi: 10.1007/978-3-319-59806-2.

[4]

S. T. DoughertyP. GaboritM. Harada and P. Sole, Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$, IEEE Trans. Inform. Theory, 45 (1999), 32-45.  doi: 10.1109/18.746770.

[5]

S. T. Dougherty, J. Gildea and A. Kaya, Quadruple bordered constructions of self-dual codes from group rings over Frobenius rings, Cryptogr. Commun., (2019), 1–20. doi: 10.1007/s12095-019-00380-8.

[6]

S. T. DoughertyJ. GildeaR. Taylor and A. Tylshchak, Group rings, $G$-codes and constructions of self-dual and formally self-dual codes, Des. Codes Cryptogr., 86 (2018), 2115-2138.  doi: 10.1007/s10623-017-0440-7.

[7]

S. T. DoughertyT. A. Gulliver and M. Harada, Extremal binary self dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 43 (1997), 2036-2047.  doi: 10.1109/18.641574.

[8]

S. T. DoughertyJ.-L. KimH. Kulosman and H. Liu, Self-dual codes over commutative Frobenius rings, Finite Fields Appl., 16 (2010), 14-26.  doi: 10.1016/j.ffa.2009.11.004.

[9]

S. T. DoughertyJ. GildeaA. KorbanA. KayaA. Tylyshchak and B. Yildiz, Bordered constructions of self-dual codes from group rings and new extremal binary self-dual code, Finite Fields Appl., 57 (2019), 108-127.  doi: 10.1016/j.ffa.2019.02.004.

[10]

S. T. Dougherty, J. Gildea, A. Korban and A. Kaya, Binary generator matrices for extremal binary self-dual codes of length $68$, Available from: http://abidinkaya.wixsite.com/math/adrian1.

[11]

P. GaboritV. PlessP. Sole and O. Atkin, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4$", Finite Fields Appl., 8 (2002), 171-183.  doi: 10.1006/ffta.2001.0333.

[12]

J. GildeaA. KayaR. Taylor and B. Yildiz, Constructions for self-dual codes induced from group rings, Finite Fields Appl., 51 (2018), 71-92.  doi: 10.1016/j.ffa.2018.01.002.

[13]

T. Hurley, Group rings and rings of matrices, Int. J. Pure Appl. Math., 31 (2006), 319-335. 

[14]

A. Kaya and B. Yildiz, Various constructions for self-dual codes over rings and new binary self-dual codes, Discrete Math., 339 (2016), 460-469.  doi: 10.1016/j.disc.2015.09.010.

[15]

S. Ling and P. Sole, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4+u \mathbb{F}_4$", European J. Combin., 22 (2001), 983-997.  doi: 10.1006/eujc.2001.0509.

[16]

E. M. Rains, Shadow bounds for self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 44 (1998), 134-139.  doi: 10.1109/18.651000.

show all references

References:
[1]

W. BosmaJ. Cannon and C. Playoust, The Magma algebra system Ⅰ: The user language, J. Symbolic Comput., 24 (1997), 235-265.  doi: 10.1006/jsco.1996.0125.

[2]

J. H. Conway and N. J. A. Solane, A new upper bound on the minimal distance of self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 36 (1990), 1319-1333.  doi: 10.1109/18.59931.

[3]

S. T. Dougherty, Algebraic Coding Theory Over Finite Commutative Rings, SpringerBriefs in Mathematics, Springer, Cham, 2017. doi: 10.1007/978-3-319-59806-2.

[4]

S. T. DoughertyP. GaboritM. Harada and P. Sole, Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$, IEEE Trans. Inform. Theory, 45 (1999), 32-45.  doi: 10.1109/18.746770.

[5]

S. T. Dougherty, J. Gildea and A. Kaya, Quadruple bordered constructions of self-dual codes from group rings over Frobenius rings, Cryptogr. Commun., (2019), 1–20. doi: 10.1007/s12095-019-00380-8.

[6]

S. T. DoughertyJ. GildeaR. Taylor and A. Tylshchak, Group rings, $G$-codes and constructions of self-dual and formally self-dual codes, Des. Codes Cryptogr., 86 (2018), 2115-2138.  doi: 10.1007/s10623-017-0440-7.

[7]

S. T. DoughertyT. A. Gulliver and M. Harada, Extremal binary self dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 43 (1997), 2036-2047.  doi: 10.1109/18.641574.

[8]

S. T. DoughertyJ.-L. KimH. Kulosman and H. Liu, Self-dual codes over commutative Frobenius rings, Finite Fields Appl., 16 (2010), 14-26.  doi: 10.1016/j.ffa.2009.11.004.

[9]

S. T. DoughertyJ. GildeaA. KorbanA. KayaA. Tylyshchak and B. Yildiz, Bordered constructions of self-dual codes from group rings and new extremal binary self-dual code, Finite Fields Appl., 57 (2019), 108-127.  doi: 10.1016/j.ffa.2019.02.004.

[10]

S. T. Dougherty, J. Gildea, A. Korban and A. Kaya, Binary generator matrices for extremal binary self-dual codes of length $68$, Available from: http://abidinkaya.wixsite.com/math/adrian1.

[11]

P. GaboritV. PlessP. Sole and O. Atkin, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4$", Finite Fields Appl., 8 (2002), 171-183.  doi: 10.1006/ffta.2001.0333.

[12]

J. GildeaA. KayaR. Taylor and B. Yildiz, Constructions for self-dual codes induced from group rings, Finite Fields Appl., 51 (2018), 71-92.  doi: 10.1016/j.ffa.2018.01.002.

[13]

T. Hurley, Group rings and rings of matrices, Int. J. Pure Appl. Math., 31 (2006), 319-335. 

[14]

A. Kaya and B. Yildiz, Various constructions for self-dual codes over rings and new binary self-dual codes, Discrete Math., 339 (2016), 460-469.  doi: 10.1016/j.disc.2015.09.010.

[15]

S. Ling and P. Sole, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4+u \mathbb{F}_4$", European J. Combin., 22 (2001), 983-997.  doi: 10.1006/eujc.2001.0509.

[16]

E. M. Rains, Shadow bounds for self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 44 (1998), 134-139.  doi: 10.1109/18.651000.

Table 1.  Theorem 3.1 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (1,1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega+1,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (0,0) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (0,\omega+1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_3 $ $ (0,0) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_4 $ $ (0,0) $ $ (1,1) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega+1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^9 3^25 $
$ C_5 $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^73 $
$ C_6 $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (0,1) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (1,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^{11}3 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (1,1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega+1,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (0,0) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (0,\omega+1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_3 $ $ (0,0) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_4 $ $ (0,0) $ $ (1,1) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega+1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^9 3^25 $
$ C_5 $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^73 $
$ C_6 $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (0,1) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (1,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^{11}3 $
Table 2.  The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images
code $ r_{A_1} $ $ r_{B_1} $ $ r_{A_2} $ $ r_{B_2} $ $ r_{A_3} $ $ r_{B_3} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ I_{1} $ $ C_5 $ $ (z_4,a_3) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_3,a_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (b_1,z_3) $ $ (a_1,b_2) $ $ 8 $ $ 2^4 $
$ I_{2} $ $ C_5 $ $ (z_3,a_1) $ $ (b_3,c_1) $ $ (z_2,a_3) $ $ (b_4,b_3) $ $ (b_3,z_2) $ $ (a_3,b_4) $ $ 8 $ $ 2^5 $
$ I_3 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_2,c_2) $ $ (z_4,z_2) $ $ (c_1,b_1) $ $ (b_1,z_4) $ $ (z_2,c_1) $ $ 12 $ $ 2^4 $
$ I_4 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,c_3) $ $ (z_2,z_4) $ $ (c_1,b_2) $ $ (b_2,z_2) $ $ (z_4,c_1) $ $ 24 $ $ 2^4 $
$ I_5 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_4,c_4) $ $ (z_2,z_4) $ $ (c_2,b_2) $ $ (b_2,z_2) $ $ (z_4,c_2) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ I_6 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,c_3) $ $ (z_4,z_2) $ $ (c_2,b_2) $ $ (b_2,z_4) $ $ (z_2,c_2) $ $ 28 $ $ 2^4 $
$ I_7 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_4,c_4) $ $ (z_2,z_3) $ $ (c_2,b_1) $ $ (b_1,z_2) $ $ (z_3,c_2) $ $ 32 $ $ 2^5 $
$ I_8 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_4,c_4) $ $ (z_3,z_4) $ $ (c_2,b_4) $ $ (b_4,z_3) $ $ (z_4,c_2) $ $ 32 $ $ 2^6 $
$ I_{9} $ $ C_5 $ $ (z_2,a_1) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_4,a_1) $ $ (b_4,b_4) $ $ (b_4,z_4) $ $ (a_1,b_4) $ $ 40 $ $ 2^5 $
code $ r_{A_1} $ $ r_{B_1} $ $ r_{A_2} $ $ r_{B_2} $ $ r_{A_3} $ $ r_{B_3} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ I_{1} $ $ C_5 $ $ (z_4,a_3) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_3,a_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (b_1,z_3) $ $ (a_1,b_2) $ $ 8 $ $ 2^4 $
$ I_{2} $ $ C_5 $ $ (z_3,a_1) $ $ (b_3,c_1) $ $ (z_2,a_3) $ $ (b_4,b_3) $ $ (b_3,z_2) $ $ (a_3,b_4) $ $ 8 $ $ 2^5 $
$ I_3 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_2,c_2) $ $ (z_4,z_2) $ $ (c_1,b_1) $ $ (b_1,z_4) $ $ (z_2,c_1) $ $ 12 $ $ 2^4 $
$ I_4 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,c_3) $ $ (z_2,z_4) $ $ (c_1,b_2) $ $ (b_2,z_2) $ $ (z_4,c_1) $ $ 24 $ $ 2^4 $
$ I_5 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_4,c_4) $ $ (z_2,z_4) $ $ (c_2,b_2) $ $ (b_2,z_2) $ $ (z_4,c_2) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ I_6 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,c_3) $ $ (z_4,z_2) $ $ (c_2,b_2) $ $ (b_2,z_4) $ $ (z_2,c_2) $ $ 28 $ $ 2^4 $
$ I_7 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_4,c_4) $ $ (z_2,z_3) $ $ (c_2,b_1) $ $ (b_1,z_2) $ $ (z_3,c_2) $ $ 32 $ $ 2^5 $
$ I_8 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_4,c_4) $ $ (z_3,z_4) $ $ (c_2,b_4) $ $ (b_4,z_3) $ $ (z_4,c_2) $ $ 32 $ $ 2^6 $
$ I_{9} $ $ C_5 $ $ (z_2,a_1) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_4,a_1) $ $ (b_4,b_4) $ $ (b_4,z_4) $ $ (a_1,b_4) $ $ 40 $ $ 2^5 $
Table 3.  Theorem 3.2 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,1) $ $ (1,0) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (\omega+1,1) $ $ (\omega,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_3 $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_4 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_5 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_6 $ $ (0,1) $ $ (1,0) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,1) $ $ (1,0) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (\omega+1,1) $ $ (\omega,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_3 $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_4 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_5 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_6 $ $ (0,1) $ $ (1,0) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
Table 4.  The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images
code $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_B{_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ J_1 $ $ C_6 $ $ (z_2,a_1) $ $ (a_1,z_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (a_2,b_1) $ $ (z_4,b_1) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ J_2 $ $ C_6 $ $ (z_4,a_3) $ $ (a_3,z_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ J_3 $ $ C_6 $ $ (z_3,a_1) $ $ (a_1,z_3) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ J_4 $ $ C_2 $ $ (z_4,a_1) $ $ (a_1,z_4) $ $ (a_3,b_4) $ $ (a_3,c_2) $ $ (c_2,a_3) $ $ (b_4,a_3) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ J_5 $ $ C_3 $ $ (b_1,c_2) $ $ (c_2,b_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ J_6 $ $ C_3 $ $ (b_2,c_1) $ $ (c_1,b_2) $ $ (b_1,z_2) $ $ (b_1,a_3) $ $ (a_3,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ J_7 $ $ C_3 $ $ (b_2,c_4) $ $ (c_4,b_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (a_2,b_1) $ $ (z_4,b_1) $ $ 48 $ $ 2^5 $
$ J_8 $ $ C_3 $ $ (b_1,c_3) $ $ (c_3,b_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 52 $ $ 2^5 $
code $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_B{_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ J_1 $ $ C_6 $ $ (z_2,a_1) $ $ (a_1,z_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (a_2,b_1) $ $ (z_4,b_1) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ J_2 $ $ C_6 $ $ (z_4,a_3) $ $ (a_3,z_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ J_3 $ $ C_6 $ $ (z_3,a_1) $ $ (a_1,z_3) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ J_4 $ $ C_2 $ $ (z_4,a_1) $ $ (a_1,z_4) $ $ (a_3,b_4) $ $ (a_3,c_2) $ $ (c_2,a_3) $ $ (b_4,a_3) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ J_5 $ $ C_3 $ $ (b_1,c_2) $ $ (c_2,b_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ J_6 $ $ C_3 $ $ (b_2,c_1) $ $ (c_1,b_2) $ $ (b_1,z_2) $ $ (b_1,a_3) $ $ (a_3,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ J_7 $ $ C_3 $ $ (b_2,c_4) $ $ (c_4,b_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (a_2,b_1) $ $ (z_4,b_1) $ $ 48 $ $ 2^5 $
$ J_8 $ $ C_3 $ $ (b_1,c_3) $ $ (c_3,b_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 52 $ $ 2^5 $
Table 5.  Theorem 3.3 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ \psi_{ \mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ \psi_{ \mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
Table 6.  Theorem 3.4 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ \psi_{ \mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ \psi_{ \mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
Table 7.  Theorem 3.5 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ r_{A_{4}} $ $ r_{B_{4}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (0,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^53 \cdot 5 \cdot 31 $
$ C_3 $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,0) $ $ (\omega+1,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_4 $ $ (0,\omega) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (0,\omega+1) $ $ (\omega,\omega) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_5 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_6 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_7 $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (1,0) $ $ (\omega,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
$ C_{8} $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (\omega,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^33 $
$ C_{9} $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^5 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ r_{A_{4}} $ $ r_{B_{4}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (0,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^53 \cdot 5 \cdot 31 $
$ C_3 $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,0) $ $ (\omega+1,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_4 $ $ (0,\omega) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (0,\omega+1) $ $ (\omega,\omega) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_5 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_6 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_7 $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (1,0) $ $ (\omega,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
$ C_{8} $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (\omega,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^33 $
$ C_{9} $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^5 $
Table 8.  The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images
code $ r_{A_1} $ $ r_{B_1} $ $ r_{A_2} $ $ r_{B_2} $ $ r_{A_3} $ $ r_{B_3} $ $ r_{A_4} $ $ r_{B_4} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ K_{1} $ $ C_2 $ $ (z_1,z_2) $ $ (a_3,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ (c_1,c_4) $ $ (z_2,c_4) $ $ (c_1,b_1) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,z_2) $ $ 0 $ $ 2^5 $
$ K_{2} $ $ C_3 $ $ (z_1,a_1) $ $ (a_3,b_1) $ $ (a_3,z_2) $ $ (c_2,a_2) $ $ (a_3,a_2) $ $ (c_2,z_2) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,a_1) $ $ 0 $ $ 2^4 $
$ K_{3} $ $ C_{9} $ $ (z_1,a_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_1,b_1) $ $ (c_2,c_4) $ $ (a_1,c_4) $ $ (c_2,b_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_3,a_1) $ $ 0 $ $ 2^5 $
$ K_{4} $ $ C_7 $ $ (z_1,z_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_1,z_3) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_1,a_4) $ $ (b_2,z_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_1,z_1) $ $ 0 $ $ 2^4 $
$ K_{5} $ $ C_4 $ $ (z_2,b_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_2,a_2) $ $ (c_2,b_4) $ $ (b_2,b_4) $ $ (c_2a_2) $ $ (z_2,c_2) $ $ (b_1,b_2) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ K_{6} $ $ C_4 $ $ (z_2,b_1) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,a_1) $ $ (c_1,b_2) $ $ (b_2,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (z_2,c_4) $ $ (b_2,b_1) $ $ 4 $ $ 2^4 $
$ K_{7} $ $ C_7 $ $ (z_4,z_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,z_4) $ $ (b_4,a_4) $ $ (a_3,a_4) $ $ (b_4,z_4) $ $ (z_4,b_2) $ $ (a_3,z_1) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ K_8 $ $ C_1 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_1) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_4,b_4) $ $ (c_1,b_4) $ $ (c_4,a_1) $ $ (z_1,b_1) $ $ (z_3,z_2) $ $ 8 $ $ 2^5 $
$ K_{9} $ $ C_1 $ $ (z_2,z_4) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_3) $ $ (c_2,b_4) $ $ (c_1,b_4) $ $ (c_2,a_3) $ $ (z_2,b_2) $ $ (z_3,z_4) $ $ 8 $ $ 2^4 $
$ K_{10} $ $ C_2 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ (c_4,c_3) $ $ (z_2,c_3) $ $ (c_4,b_1) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,z_2) $ $ 12 $ $ 2^4 $
$ K_{11} $ $ C_4 $ $ (z_4,b_1) $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_1,a_3) $ $ (c_4,b_4) $ $ (b_1,b_4) $ $ (c_4,a_3) $ $ (z_4,c_4) $ $ (b_1,b_1) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ K_{12} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_1) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_3) $ $ (c_4,b_4) $ $ (c_1,b_4) $ $ (c_4,a_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_1) $ $ 16 $ $ 2^6 $
$ K_{13} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_3) $ $ (z_4,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_2,b_2) $ $ (c_1,b_2) $ $ (c_2,a_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_4,z_3) $ $ 16 $ $ 2^4 $
$ K_{14} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_3) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_2,a_1) $ $ (c_3,b_3) $ $ (c_2,b_3) $ $ (c_3,a_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_3) $ $ 16 $ $ 2^5 $
$ K_{15} $ $ C_2 $ $ (z_2,z_2) $ $ (a_1,b_1) $ $ (z_3,b_1) $ $ (c_2,c_4) $ $ (z_3,z_4) $ $ (c_2,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ (a_1,z_2) $ $ 20 $ $ 2^4 $
$ K_{16} $ $ C_3 $ $ (z_2,a_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,z_2) $ $ (c_4,a_4) $ $ (a_3,a_4) $ $ (c_4,z_2) $ $ (z_2,b_2) $ $ (a_3,a_1) $ $ 20 $ $ 2^5 $
$ K_{17} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_3) $ $ (c_4,b_2) $ $ (c_1,b_2) $ $ (c_4,a_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_2) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ K_{18} $ $ C_1 $ $ (z_2,z_2) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_2,b_1) $ $ (c_1,b_1) $ $ (c_2,a_1) $ $ (z_2,b_2) $ $ (z_3,z_2) $ $ 24 $ $ 2^4 $
$ K_{19} $ $ C_2 $ $ (z_2,z_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (z_4,b_2) $ $ (c_1,c_3) $ $ (z_4,c_3) $ $ (c_1,b_2) $ $ (z_2,b_2) $ $ (a_1,z_1) $ $ 28 $ $ 2^4 $
$ K_{20} $ $ C_4 $ $ (z_1,b_1) $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_1,a_4) $ $ (c_2,b_2) $ $ (b_1,b_2) $ $ (c_2,a_4) $ $ (z_1,c_2) $ $ (b_2,b_1) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ K_{21} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_4,b_3) $ $ (z_1,b_3) $ $ (a_4,a_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_2) $ $ 32 $ $ 2^5 $
$ K_{22} $ $ C_4 $ $ (z_4,b_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_1) $ $ (c_3,b_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (c_3,a_1) $ $ (z_4,c_1) $ $ (b_1,b_2) $ $ 32 $ $ 2^4 $
$ K_{23} $ $ C_7 $ $ (z_1,z_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_1,z_4) $ $ (b_1,a_3) $ $ (a_1,a_3) $ $ (b_1,z_4) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_3,z_1) $ $ 36 $ $ 2^4 $
$ K_{24} $ $ C_4 $ $ (z_3,b_1) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_1,a_4) $ $ (c_4,b_3) $ $ (b_1,b_3) $ $ (c_4,a_4) $ $ (z_3,c_4) $ $ (b_2,b_1) $ $ 36 $ $ 2^5 $
$ K_{25} $ $ C_5 $ $ (z_1,z_4) $ $ (z_4,b_2) $ $ (a_1,z_2) $ $ (a_2,c_1) $ $ (a_1,c_1) $ $ (a_2,z_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_4,z_4) $ $ 40 $ $ 2^5 $
$ K_{26} $ $ C_2 $ $ (z_4,z_1) $ $ (a_1,b_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (c_2,c_1) $ $ (z_1,c_1) $ $ (c_2,b_2) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_1,z_1) $ $ 44 $ $ 2^43 $
$ K_{27} $ $ C_4 $ $ (z_2,b_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_3) $ $ (c_1,b_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (c_1,a_3) $ $ (z_2,c_1) $ $ (b_1,b_2) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ K_{28} $ $ C_4 $ $ (z_4,b_2) $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_2,a_2) $ $ (c_4,b_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (c_4,a_2) $ $ (z_4,c_4) $ $ (b_1,b_2) $ $ 48 $ $ 2^5 $
$ K_{29} $ $ C_4 $ $ (z_1,b_1) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_1,a_4) $ $ (c_3,b_2) $ $ (b_1,b_2) $ $ (c_3,a_4) $ $ (z_1,c_3) $ $ (b_2,b_1) $ $ 52 $ $ 2^5 $
code $ r_{A_1} $ $ r_{B_1} $ $ r_{A_2} $ $ r_{B_2} $ $ r_{A_3} $ $ r_{B_3} $ $ r_{A_4} $ $ r_{B_4} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ K_{1} $ $ C_2 $ $ (z_1,z_2) $ $ (a_3,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ (c_1,c_4) $ $ (z_2,c_4) $ $ (c_1,b_1) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,z_2) $ $ 0 $ $ 2^5 $
$ K_{2} $ $ C_3 $ $ (z_1,a_1) $ $ (a_3,b_1) $ $ (a_3,z_2) $ $ (c_2,a_2) $ $ (a_3,a_2) $ $ (c_2,z_2) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,a_1) $ $ 0 $ $ 2^4 $
$ K_{3} $ $ C_{9} $ $ (z_1,a_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_1,b_1) $ $ (c_2,c_4) $ $ (a_1,c_4) $ $ (c_2,b_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_3,a_1) $ $ 0 $ $ 2^5 $
$ K_{4} $ $ C_7 $ $ (z_1,z_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_1,z_3) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_1,a_4) $ $ (b_2,z_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_1,z_1) $ $ 0 $ $ 2^4 $
$ K_{5} $ $ C_4 $ $ (z_2,b_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_2,a_2) $ $ (c_2,b_4) $ $ (b_2,b_4) $ $ (c_2a_2) $ $ (z_2,c_2) $ $ (b_1,b_2) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ K_{6} $ $ C_4 $ $ (z_2,b_1) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,a_1) $ $ (c_1,b_2) $ $ (b_2,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (z_2,c_4) $ $ (b_2,b_1) $ $ 4 $ $ 2^4 $
$ K_{7} $ $ C_7 $ $ (z_4,z_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,z_4) $ $ (b_4,a_4) $ $ (a_3,a_4) $ $ (b_4,z_4) $ $ (z_4,b_2) $ $ (a_3,z_1) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ K_8 $ $ C_1 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_1) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_4,b_4) $ $ (c_1,b_4) $ $ (c_4,a_1) $ $ (z_1,b_1) $ $ (z_3,z_2) $ $ 8 $ $ 2^5 $
$ K_{9} $ $ C_1 $ $ (z_2,z_4) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_3) $ $ (c_2,b_4) $ $ (c_1,b_4) $ $ (c_2,a_3) $ $ (z_2,b_2) $ $ (z_3,z_4) $ $ 8 $ $ 2^4 $
$ K_{10} $ $ C_2 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ (c_4,c_3) $ $ (z_2,c_3) $ $ (c_4,b_1) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,z_2) $ $ 12 $ $ 2^4 $
$ K_{11} $ $ C_4 $ $ (z_4,b_1) $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_1,a_3) $ $ (c_4,b_4) $ $ (b_1,b_4) $ $ (c_4,a_3) $ $ (z_4,c_4) $ $ (b_1,b_1) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ K_{12} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_1) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_3) $ $ (c_4,b_4) $ $ (c_1,b_4) $ $ (c_4,a_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_1) $ $ 16 $ $ 2^6 $
$ K_{13} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_3) $ $ (z_4,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_2,b_2) $ $ (c_1,b_2) $ $ (c_2,a_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_4,z_3) $ $ 16 $ $ 2^4 $
$ K_{14} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_3) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_2,a_1) $ $ (c_3,b_3) $ $ (c_2,b_3) $ $ (c_3,a_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_3) $ $ 16 $ $ 2^5 $
$ K_{15} $ $ C_2 $ $ (z_2,z_2) $ $ (a_1,b_1) $ $ (z_3,b_1) $ $ (c_2,c_4) $ $ (z_3,z_4) $ $ (c_2,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ (a_1,z_2) $ $ 20 $ $ 2^4 $
$ K_{16} $ $ C_3 $ $ (z_2,a_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,z_2) $ $ (c_4,a_4) $ $ (a_3,a_4) $ $ (c_4,z_2) $ $ (z_2,b_2) $ $ (a_3,a_1) $ $ 20 $ $ 2^5 $
$ K_{17} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_3) $ $ (c_4,b_2) $ $ (c_1,b_2) $ $ (c_4,a_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_2) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ K_{18} $ $ C_1 $ $ (z_2,z_2) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_2,b_1) $ $ (c_1,b_1) $ $ (c_2,a_1) $ $ (z_2,b_2) $ $ (z_3,z_2) $ $ 24 $ $ 2^4 $
$ K_{19} $ $ C_2 $ $ (z_2,z_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (z_4,b_2) $ $ (c_1,c_3) $ $ (z_4,c_3) $ $ (c_1,b_2) $ $ (z_2,b_2) $ $ (a_1,z_1) $ $ 28 $ $ 2^4 $
$ K_{20} $ $ C_4 $ $ (z_1,b_1) $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_1,a_4) $ $ (c_2,b_2) $ $ (b_1,b_2) $ $ (c_2,a_4) $ $ (z_1,c_2) $ $ (b_2,b_1) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ K_{21} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_4,b_3) $ $ (z_1,b_3) $ $ (a_4,a_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_2) $ $ 32 $ $ 2^5 $
$ K_{22} $ $ C_4 $ $ (z_4,b_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_1) $ $ (c_3,b_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (c_3,a_1) $ $ (z_4,c_1) $ $ (b_1,b_2) $ $ 32 $ $ 2^4 $
$ K_{23} $ $ C_7 $ $ (z_1,z_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_1,z_4) $ $ (b_1,a_3) $ $ (a_1,a_3) $ $ (b_1,z_4) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_3,z_1) $ $ 36 $ $ 2^4 $
$ K_{24} $ $ C_4 $ $ (z_3,b_1) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_1,a_4) $ $ (c_4,b_3) $ $ (b_1,b_3) $ $ (c_4,a_4) $ $ (z_3,c_4) $ $ (b_2,b_1) $ $ 36 $ $ 2^5 $
$ K_{25} $ $ C_5 $ $ (z_1,z_4) $ $ (z_4,b_2) $ $ (a_1,z_2) $ $ (a_2,c_1) $ $ (a_1,c_1) $ $ (a_2,z_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_4,z_4) $ $ 40 $ $ 2^5 $
$ K_{26} $ $ C_2 $ $ (z_4,z_1) $ $ (a_1,b_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (c_2,c_1) $ $ (z_1,c_1) $ $ (c_2,b_2) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_1,z_1) $ $ 44 $ $ 2^43 $
$ K_{27} $ $ C_4 $ $ (z_2,b_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_3) $ $ (c_1,b_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (c_1,a_3) $ $ (z_2,c_1) $ $ (b_1,b_2) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ K_{28} $ $ C_4 $ $ (z_4,b_2) $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_2,a_2) $ $ (c_4,b_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (c_4,a_2) $ $ (z_4,c_4) $ $ (b_1,b_2) $ $ 48 $ $ 2^5 $
$ K_{29} $ $ C_4 $ $ (z_1,b_1) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_1,a_4) $ $ (c_3,b_2) $ $ (b_1,b_2) $ $ (c_3,a_4) $ $ (z_1,c_3) $ $ (b_2,b_1) $ $ 52 $ $ 2^5 $
Table 9.  Theorem 3.6 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ r_{A_{4}} $ $ r_{B_{4}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_2 $ $ (0,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega,1) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,0) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_4 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_5 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,0) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_6 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,0) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ r_{A_{4}} $ $ r_{B_{4}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_2 $ $ (0,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega,1) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,0) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_4 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_5 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,0) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_6 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,0) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
Table 10.  The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images
code $ r_{A_1} $ $ r_{B_1} $ $ r_{A_2} $ $ r_{B_2} $ $ r_{A_3} $ $ r_{B_3} $ $ r_{A_4} $ $ r_{B_4} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ L_{1} $ $ C_6 $ $ (z_2,a_1) $ $ (z_2,a_1) $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ (z_2,a_1) $ $ (z_2,a_1) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ L_{2} $ $ C_6 $ $ (z_4,a_3) $ $ (z_4,a_3) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ (z_4,a_3) $ $ (z_4,a_3) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ L_{3} $ $ C_4 $ $ (z_2,z_4) $ $ (z_2,b_2) $ $ (a_1,a_2) $ $ (a_1,b_1) $ $ (a_1,b_1) $ $ (a_1,a_2) $ $ (z_2,b_2) $ $ (z_2,z_4) $ $ 8 $ $ 2^5 $
$ L_{4} $ $ C_6 $ $ (z_3,a_1) $ $ (z_3,a_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ (z_3,a_1) $ $ (z_3,a_1) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ L_{5} $ $ C_5 $ $ (z_2,z_3) $ $ (z_2,b_1) $ $ (c_1,z_4) $ $ (c_1,c_3) $ $ (c_1,c_3) $ $ (c_1,z_4) $ $ (z_2,b_1) $ $ (z_2,z_3) $ $ 16 $ $ 2^4 $
$ L_6 $ $ C_3 $ $ (b_2,z_3) $ $ (b_2,a_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_2) $ $ (b_2,z_3) $ $ 20 $ $ 2^4 $
$ L_7 $ $ C_3 $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_1) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ 24 $ $ 2^4 $
$ L_{8} $ $ C_4 $ $ (z_1,z_3) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,a_4) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,a_4) $ $ (z_1,b_1) $ $ (z_1,z_3) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ L_9 $ $ C_3 $ $ (b_1,z_2) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_1,z_2) $ $ 28 $ $ 2^4 $
$ L_{10} $ $ C_3 $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ L_{11} $ $ C_3 $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_1,z_4) $ $ 32 $ $ 2^4 $
$ L_{12} $ $ C_4 $ $ (z_3,z_1) $ $ (z_3,b_1) $ $ (a_3,a_4) $ $ (a_3,b_1) $ $ (a_3,b_1) $ $ (a_3,a_4) $ $ (z_3,b_1) $ $ (z_3,z_1) $ $ 40 $ $ 2^5 $
$ L_{13} $ $ C_3 $ $ (b_1,z_2) $ $ (b_1,a_3) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_1,a_3) $ $ (b_1,z_2) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ L_{14} $ $ C_3 $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ 48 $ $ 2^4 $
$ L_{15} $ $ C_3 $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ 52 $ $ 2^5 $
code $ r_{A_1} $ $ r_{B_1} $ $ r_{A_2} $ $ r_{B_2} $ $ r_{A_3} $ $ r_{B_3} $ $ r_{A_4} $ $ r_{B_4} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ L_{1} $ $ C_6 $ $ (z_2,a_1) $ $ (z_2,a_1) $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ (z_2,a_1) $ $ (z_2,a_1) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ L_{2} $ $ C_6 $ $ (z_4,a_3) $ $ (z_4,a_3) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ (z_4,a_3) $ $ (z_4,a_3) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ L_{3} $ $ C_4 $ $ (z_2,z_4) $ $ (z_2,b_2) $ $ (a_1,a_2) $ $ (a_1,b_1) $ $ (a_1,b_1) $ $ (a_1,a_2) $ $ (z_2,b_2) $ $ (z_2,z_4) $ $ 8 $ $ 2^5 $
$ L_{4} $ $ C_6 $ $ (z_3,a_1) $ $ (z_3,a_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ (z_3,a_1) $ $ (z_3,a_1) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ L_{5} $ $ C_5 $ $ (z_2,z_3) $ $ (z_2,b_1) $ $ (c_1,z_4) $ $ (c_1,c_3) $ $ (c_1,c_3) $ $ (c_1,z_4) $ $ (z_2,b_1) $ $ (z_2,z_3) $ $ 16 $ $ 2^4 $
$ L_6 $ $ C_3 $ $ (b_2,z_3) $ $ (b_2,a_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_2) $ $ (b_2,z_3) $ $ 20 $ $ 2^4 $
$ L_7 $ $ C_3 $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_1) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ 24 $ $ 2^4 $
$ L_{8} $ $ C_4 $ $ (z_1,z_3) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,a_4) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,a_4) $ $ (z_1,b_1) $ $ (z_1,z_3) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ L_9 $ $ C_3 $ $ (b_1,z_2) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_1,z_2) $ $ 28 $ $ 2^4 $
$ L_{10} $ $ C_3 $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ L_{11} $ $ C_3 $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_1,z_4) $ $ 32 $ $ 2^4 $
$ L_{12} $ $ C_4 $ $ (z_3,z_1) $ $ (z_3,b_1) $ $ (a_3,a_4) $ $ (a_3,b_1) $ $ (a_3,b_1) $ $ (a_3,a_4) $ $ (z_3,b_1) $ $ (z_3,z_1) $ $ 40 $ $ 2^5 $
$ L_{13} $ $ C_3 $ $ (b_1,z_2) $ $ (b_1,a_3) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_1,a_3) $ $ (b_1,z_2) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ L_{14} $ $ C_3 $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ 48 $ $ 2^4 $
$ L_{15} $ $ C_3 $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ 52 $ $ 2^5 $
Table 11.  Theorem 3.7 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (1,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (0,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (1,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (0,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
Table 12.  Theorem 3.8 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_2 $ $ (\omega, \omega+1) $ $ (\omega, \omega+1) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_3 $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_4 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
$ C_5 $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,\omega+1) $ $ (0,\omega+1) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_2 $ $ (\omega, \omega+1) $ $ (\omega, \omega+1) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_3 $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_4 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
$ C_5 $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,\omega+1) $ $ (0,\omega+1) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
Table 13.  The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images
code $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ M_1 $ $ C_2 $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_2,b_1) $ $ (a_2,b_4) $ $ (a_2,b_4) $ $ (z_2,b_1) $ $ 0 $ $ 2^5 $
$ M_{2} $ $ C_2 $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_2,c_2) $ $ (z_2,b_1) $ $ (a_2,b_4) $ $ (a_2,b_4) $ $ (z_2,b_1) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ M_{3} $ $ C_3 $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_1,c_4) $ $ (a_1,c_4) $ $ (a_1,b_2) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ M_4 $ $ C_2 $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_1,c_4) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_3,b_4) $ $ (a_3,b_4) $ $ (z_4,b_1) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ M_{5} $ $ C_3 $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_2,c_2) $ $ (a_1,b_3) $ $ (a_2,c_4) $ $ (a_2,c_4) $ $ (a_1,b_3) $ $ 16 $ $ 2^5 $
$ M_6 $ $ C_1 $ $ (z_2,a_3) $ $ (z_2,a_3) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_4,c_1) $ $ (a_4,c_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ 20 $ $ 2^5 $
$ M_7 $ $ C_1 $ $ (z_2,a_3) $ $ (z_2,a_3) $ $ (a_1,b_3) $ $ (a_3,c_4) $ $ (a_3,c_4) $ $ (a_1,b_3) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ M_8 $ $ C_2 $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ M_{9} $ $ C_3 $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_2,c_3) $ $ (a_2,c_3) $ $ (a_1,b_2) $ $ 32 $ $ 2^6 $
$ M_{10} $ $ C_2 $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_1,c_4) $ $ (z_3,b_2) $ $ (a_4,b_3) $ $ (a_4,b_3) $ $ (z_3,b_2) $ $ 36 $ $ 2^5 $
$ M_{11} $ $ C_2 $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_1,b_2) $ $ (z_4,b_1) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ M_{12} $ $ C_2 $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_2,b_1) $ $ (a_2,b_1) $ $ (z_4,b_1) $ $ 48 $ $ 2^5 $
$ M_{13} $ $ C_2 $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 52 $ $ 2^5 $
code $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ M_1 $ $ C_2 $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_2,b_1) $ $ (a_2,b_4) $ $ (a_2,b_4) $ $ (z_2,b_1) $ $ 0 $ $ 2^5 $
$ M_{2} $ $ C_2 $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_2,c_2) $ $ (z_2,b_1) $ $ (a_2,b_4) $ $ (a_2,b_4) $ $ (z_2,b_1) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ M_{3} $ $ C_3 $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_1,c_4) $ $ (a_1,c_4) $ $ (a_1,b_2) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ M_4 $ $ C_2 $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_1,c_4) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_3,b_4) $ $ (a_3,b_4) $ $ (z_4,b_1) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ M_{5} $ $ C_3 $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_2,c_2) $ $ (a_1,b_3) $ $ (a_2,c_4) $ $ (a_2,c_4) $ $ (a_1,b_3) $ $ 16 $ $ 2^5 $
$ M_6 $ $ C_1 $ $ (z_2,a_3) $ $ (z_2,a_3) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_4,c_1) $ $ (a_4,c_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ 20 $ $ 2^5 $
$ M_7 $ $ C_1 $ $ (z_2,a_3) $ $ (z_2,a_3) $ $ (a_1,b_3) $ $ (a_3,c_4) $ $ (a_3,c_4) $ $ (a_1,b_3) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ M_8 $ $ C_2 $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ M_{9} $ $ C_3 $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_2,c_3) $ $ (a_2,c_3) $ $ (a_1,b_2) $ $ 32 $ $ 2^6 $
$ M_{10} $ $ C_2 $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_1,c_4) $ $ (z_3,b_2) $ $ (a_4,b_3) $ $ (a_4,b_3) $ $ (z_3,b_2) $ $ 36 $ $ 2^5 $
$ M_{11} $ $ C_2 $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_1,b_2) $ $ (z_4,b_1) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ M_{12} $ $ C_2 $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_2,b_1) $ $ (a_2,b_1) $ $ (z_4,b_1) $ $ 48 $ $ 2^5 $
$ M_{13} $ $ C_2 $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 52 $ $ 2^5 $
Table 14.  New codes of length 68 from Theorem 5.1
$ D $ $ C $ $ (x_{17},x_{18},\dots ,x_{32}) $ $ c $ $ \gamma $ $ \beta \ \text{in}\ W_{68,2} $
$ C_{68,1} $ $ I_{2} $ $ (u,0,0,3,u,1,3,u,3,3,1,1,3,0,1,0) $ $ u+1 $ $ 0 $ $ 38 $
$ C_{68,2} $ $ K_{3} $ $ (3,1,1,3,u,u,0,u,0,0,0,3,1,1,1,3) $ $ 1 $ $ 1 $ $ 38 $
$ C_{68,3} $ $ K_{3} $ $ (3,3,1,1,0,u,0,u,0,u,0,3,1,1,3,3) $ $ 1 $ $ 1 $ $ 46 $
$ C_{68,4} $ $ K_{2} $ $ (u,1,u,u,1,3,3,3,u,1,1,u,u,0,3,3) $ $ u+1 $ $ 2 $ $ 67 $
$ C_{68,5} $ $ K_{1} $ $ (0,0,1,0,1,3,u,3,u,0,u,0,3,0,3,1) $ $ u+1 $ $ 3 $ $ 77 $
$ C_{68,6} $ $ K_{1} $ $ (1,1,0,3,0,u,u,u,1,1,1,0,1,3,0,3) $ $ u+1 $ $ 3 $ $ 78 $
$ C_{68,7} $ $ I_{1} $ $ (1,3,1,3,1,0,1,0,1,3,1,3,u,1,0,0) $ $ 1 $ $ 3 $ $ 81 $
$ C_{68,8} $ $ K_{23} $ $ (0,u,1,1,u,3,0,1,0,1,1,3,u,1,3,u) $ $ u+1 $ $ 3 $ $ 179 $
$ C_{68,9} $ $ K_{3} $ $ (1,0,0,3,u,3,u,3,1,3,3,3,1,1,1,u) $ $ 1 $ $ 4 $ $ 92 $
$ C_{68,10} $ $ K_{3} $ $ (u,u,3,3,1,1,1,1,3,0,3,3,1,1,0,u) $ $ 1 $ $ 4 $ $ 94 $
$ C_{68,11} $ $ K_{4} $ $ (1,u,1,0,u,u,1,u,1,1,0,u,u,u,1,1) $ $ 1 $ $ 4 $ $ 119 $
$ D $ $ C $ $ (x_{17},x_{18},\dots ,x_{32}) $ $ c $ $ \gamma $ $ \beta \ \text{in}\ W_{68,2} $
$ C_{68,1} $ $ I_{2} $ $ (u,0,0,3,u,1,3,u,3,3,1,1,3,0,1,0) $ $ u+1 $ $ 0 $ $ 38 $
$ C_{68,2} $ $ K_{3} $ $ (3,1,1,3,u,u,0,u,0,0,0,3,1,1,1,3) $ $ 1 $ $ 1 $ $ 38 $
$ C_{68,3} $ $ K_{3} $ $ (3,3,1,1,0,u,0,u,0,u,0,3,1,1,3,3) $ $ 1 $ $ 1 $ $ 46 $
$ C_{68,4} $ $ K_{2} $ $ (u,1,u,u,1,3,3,3,u,1,1,u,u,0,3,3) $ $ u+1 $ $ 2 $ $ 67 $
$ C_{68,5} $ $ K_{1} $ $ (0,0,1,0,1,3,u,3,u,0,u,0,3,0,3,1) $ $ u+1 $ $ 3 $ $ 77 $
$ C_{68,6} $ $ K_{1} $ $ (1,1,0,3,0,u,u,u,1,1,1,0,1,3,0,3) $ $ u+1 $ $ 3 $ $ 78 $
$ C_{68,7} $ $ I_{1} $ $ (1,3,1,3,1,0,1,0,1,3,1,3,u,1,0,0) $ $ 1 $ $ 3 $ $ 81 $
$ C_{68,8} $ $ K_{23} $ $ (0,u,1,1,u,3,0,1,0,1,1,3,u,1,3,u) $ $ u+1 $ $ 3 $ $ 179 $
$ C_{68,9} $ $ K_{3} $ $ (1,0,0,3,u,3,u,3,1,3,3,3,1,1,1,u) $ $ 1 $ $ 4 $ $ 92 $
$ C_{68,10} $ $ K_{3} $ $ (u,u,3,3,1,1,1,1,3,0,3,3,1,1,0,u) $ $ 1 $ $ 4 $ $ 94 $
$ C_{68,11} $ $ K_{4} $ $ (1,u,1,0,u,u,1,u,1,1,0,u,u,u,1,1) $ $ 1 $ $ 4 $ $ 119 $
Table 15.  New codes of length 68 as neighbors
$ D $ $ C $ $ x $ $ \gamma $ $ \beta $
$ C_{68,12} $ $ C_{68,11} $ $ \left( 1010110101000110000001111110000011\right) $ 4 107
$ C_{68,13} $ $ C_{68,10} $ $ \left( 1011111011101111011000100111110111\right) $ 4 115
$ D $ $ C $ $ x $ $ \gamma $ $ \beta $
$ C_{68,12} $ $ C_{68,11} $ $ \left( 1010110101000110000001111110000011\right) $ 4 107
$ C_{68,13} $ $ C_{68,10} $ $ \left( 1011111011101111011000100111110111\right) $ 4 115
[1]

Minjia Shi, Daitao Huang, Lin Sok, Patrick Solé. Double circulant self-dual and LCD codes over Galois rings. Advances in Mathematics of Communications, 2019, 13 (1) : 171-183. doi: 10.3934/amc.2019011

[2]

Joe Gildea, Adrian Korban, Abidin Kaya, Bahattin Yildiz. Constructing self-dual codes from group rings and reverse circulant matrices. Advances in Mathematics of Communications, 2021, 15 (3) : 471-485. doi: 10.3934/amc.2020077

[3]

Joe Gildea, Abidin Kaya, Adam Michael Roberts, Rhian Taylor, Alexander Tylyshchak. New self-dual codes from $ 2 \times 2 $ block circulant matrices, group rings and neighbours of neighbours. Advances in Mathematics of Communications, 2021  doi: 10.3934/amc.2021039

[4]

Maria Bortos, Joe Gildea, Abidin Kaya, Adrian Korban, Alexander Tylyshchak. New self-dual codes of length 68 from a $ 2 \times 2 $ block matrix construction and group rings. Advances in Mathematics of Communications, 2022, 16 (2) : 269-284. doi: 10.3934/amc.2020111

[5]

Steven T. Dougherty, Joe Gildea, Abidin Kaya, Bahattin Yildiz. New self-dual and formally self-dual codes from group ring constructions. Advances in Mathematics of Communications, 2020, 14 (1) : 11-22. doi: 10.3934/amc.2020002

[6]

Joaquim Borges, Steven T. Dougherty, Cristina Fernández-Córdoba. Characterization and constructions of self-dual codes over $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_4$. Advances in Mathematics of Communications, 2012, 6 (3) : 287-303. doi: 10.3934/amc.2012.6.287

[7]

Suat Karadeniz, Bahattin Yildiz. Double-circulant and bordered-double-circulant constructions for self-dual codes over $R_2$. Advances in Mathematics of Communications, 2012, 6 (2) : 193-202. doi: 10.3934/amc.2012.6.193

[8]

Steven T. Dougherty, Cristina Fernández-Córdoba, Roger Ten-Valls, Bahattin Yildiz. Quaternary group ring codes: Ranks, kernels and self-dual codes. Advances in Mathematics of Communications, 2020, 14 (2) : 319-332. doi: 10.3934/amc.2020023

[9]

Nabil Bennenni, Kenza Guenda, Sihem Mesnager. DNA cyclic codes over rings. Advances in Mathematics of Communications, 2017, 11 (1) : 83-98. doi: 10.3934/amc.2017004

[10]

Zihui Liu. Galois LCD codes over rings. Advances in Mathematics of Communications, 2022  doi: 10.3934/amc.2022002

[11]

Adrian Korban, Serap Sahinkaya, Deniz Ustun. New type I binary $[72, 36, 12]$ self-dual codes from $M_6(\mathbb{F}_2)G$ - Group matrix rings by a hybrid search technique based on a neighbourhood-virus optimisation algorithm. Advances in Mathematics of Communications, 2022  doi: 10.3934/amc.2022032

[12]

Gabriele Nebe, Wolfgang Willems. On self-dual MRD codes. Advances in Mathematics of Communications, 2016, 10 (3) : 633-642. doi: 10.3934/amc.2016031

[13]

Ziteng Huang, Weijun Fang, Fang-Wei Fu, Fengting Li. Generic constructions of MDS Euclidean self-dual codes via GRS codes. Advances in Mathematics of Communications, 2021  doi: 10.3934/amc.2021059

[14]

Aicha Batoul, Kenza Guenda, T. Aaron Gulliver. Some constacyclic codes over finite chain rings. Advances in Mathematics of Communications, 2016, 10 (4) : 683-694. doi: 10.3934/amc.2016034

[15]

Somphong Jitman, San Ling, Patanee Udomkavanich. Skew constacyclic codes over finite chain rings. Advances in Mathematics of Communications, 2012, 6 (1) : 39-63. doi: 10.3934/amc.2012.6.39

[16]

Kanat Abdukhalikov. On codes over rings invariant under affine groups. Advances in Mathematics of Communications, 2013, 7 (3) : 253-265. doi: 10.3934/amc.2013.7.253

[17]

Delphine Boucher, Patrick Solé, Felix Ulmer. Skew constacyclic codes over Galois rings. Advances in Mathematics of Communications, 2008, 2 (3) : 273-292. doi: 10.3934/amc.2008.2.273

[18]

Eimear Byrne. On the weight distribution of codes over finite rings. Advances in Mathematics of Communications, 2011, 5 (2) : 395-406. doi: 10.3934/amc.2011.5.395

[19]

Steven T. Dougherty, Cristina Fernández-Córdoba. Codes over $\mathbb{Z}_{2^k}$, Gray map and self-dual codes. Advances in Mathematics of Communications, 2011, 5 (4) : 571-588. doi: 10.3934/amc.2011.5.571

[20]

Steven T. Dougherty, Esengül Saltürk, Steve Szabo. Codes over local rings of order 16 and binary codes. Advances in Mathematics of Communications, 2016, 10 (2) : 379-391. doi: 10.3934/amc.2016012

2020 Impact Factor: 0.935

Metrics

  • PDF downloads (450)
  • HTML views (530)
  • Cited by (1)

[Back to Top]