November  2020, 14(4): 677-702. doi: 10.3934/amc.2020037

Composite constructions of self-dual codes from group rings and new extremal self-dual binary codes of length 68

1. 

Department of Mathematics, University of Scranton, Scranton, PA 18510, USA

2. 

Department of Mathematical and Physical Sciences, University of Chester, Thornton Science Park, Pool Ln, Chester CH2 4NU, England

3. 

Department of Mathematics Education, Sampoerna University, 12780, Jakarta, Indonesia

* Corresponding author: Adrian Korban

Received  December 2018 Revised  September 2019 Published  November 2019

We describe eight composite constructions from group rings where the orders of the groups are 4 and 8, which are then applied to find self-dual codes of length 16 over $ \mathbb{F}_4 $. These codes have binary images with parameters $ [32,16,8] $ or $ [32,16,6] $. These are lifted to codes over $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $, to obtain codes with Gray images of extremal self-dual binary codes of length 64. Finally, we use a building-up method over $ \mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2 $ to obtain new extremal binary self-dual codes of length 68. We construct 11 new codes via the building-up method and 2 new codes by considering possible neighbors.

Citation: Steven T. Dougherty, Joe Gildea, Adrian Korban, Abidin Kaya. Composite constructions of self-dual codes from group rings and new extremal self-dual binary codes of length 68. Advances in Mathematics of Communications, 2020, 14 (4) : 677-702. doi: 10.3934/amc.2020037
References:
[1]

W. BosmaJ. Cannon and C. Playoust, The Magma algebra system Ⅰ: The user language, J. Symbolic Comput., 24 (1997), 235-265.  doi: 10.1006/jsco.1996.0125.  Google Scholar

[2]

J. H. Conway and N. J. A. Solane, A new upper bound on the minimal distance of self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 36 (1990), 1319-1333.  doi: 10.1109/18.59931.  Google Scholar

[3]

S. T. Dougherty, Algebraic Coding Theory Over Finite Commutative Rings, SpringerBriefs in Mathematics, Springer, Cham, 2017. doi: 10.1007/978-3-319-59806-2.  Google Scholar

[4]

S. T. DoughertyP. GaboritM. Harada and P. Sole, Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$, IEEE Trans. Inform. Theory, 45 (1999), 32-45.  doi: 10.1109/18.746770.  Google Scholar

[5]

S. T. Dougherty, J. Gildea and A. Kaya, Quadruple bordered constructions of self-dual codes from group rings over Frobenius rings, Cryptogr. Commun., (2019), 1–20. doi: 10.1007/s12095-019-00380-8.  Google Scholar

[6]

S. T. DoughertyJ. GildeaR. Taylor and A. Tylshchak, Group rings, $G$-codes and constructions of self-dual and formally self-dual codes, Des. Codes Cryptogr., 86 (2018), 2115-2138.  doi: 10.1007/s10623-017-0440-7.  Google Scholar

[7]

S. T. DoughertyT. A. Gulliver and M. Harada, Extremal binary self dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 43 (1997), 2036-2047.  doi: 10.1109/18.641574.  Google Scholar

[8]

S. T. DoughertyJ.-L. KimH. Kulosman and H. Liu, Self-dual codes over commutative Frobenius rings, Finite Fields Appl., 16 (2010), 14-26.  doi: 10.1016/j.ffa.2009.11.004.  Google Scholar

[9]

S. T. DoughertyJ. GildeaA. KorbanA. KayaA. Tylyshchak and B. Yildiz, Bordered constructions of self-dual codes from group rings and new extremal binary self-dual code, Finite Fields Appl., 57 (2019), 108-127.  doi: 10.1016/j.ffa.2019.02.004.  Google Scholar

[10]

S. T. Dougherty, J. Gildea, A. Korban and A. Kaya, Binary generator matrices for extremal binary self-dual codes of length $68$, Available from: http://abidinkaya.wixsite.com/math/adrian1. Google Scholar

[11]

P. GaboritV. PlessP. Sole and O. Atkin, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4$", Finite Fields Appl., 8 (2002), 171-183.  doi: 10.1006/ffta.2001.0333.  Google Scholar

[12]

J. GildeaA. KayaR. Taylor and B. Yildiz, Constructions for self-dual codes induced from group rings, Finite Fields Appl., 51 (2018), 71-92.  doi: 10.1016/j.ffa.2018.01.002.  Google Scholar

[13]

T. Hurley, Group rings and rings of matrices, Int. J. Pure Appl. Math., 31 (2006), 319-335.   Google Scholar

[14]

A. Kaya and B. Yildiz, Various constructions for self-dual codes over rings and new binary self-dual codes, Discrete Math., 339 (2016), 460-469.  doi: 10.1016/j.disc.2015.09.010.  Google Scholar

[15]

S. Ling and P. Sole, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4+u \mathbb{F}_4$", European J. Combin., 22 (2001), 983-997.  doi: 10.1006/eujc.2001.0509.  Google Scholar

[16]

E. M. Rains, Shadow bounds for self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 44 (1998), 134-139.  doi: 10.1109/18.651000.  Google Scholar

show all references

References:
[1]

W. BosmaJ. Cannon and C. Playoust, The Magma algebra system Ⅰ: The user language, J. Symbolic Comput., 24 (1997), 235-265.  doi: 10.1006/jsco.1996.0125.  Google Scholar

[2]

J. H. Conway and N. J. A. Solane, A new upper bound on the minimal distance of self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 36 (1990), 1319-1333.  doi: 10.1109/18.59931.  Google Scholar

[3]

S. T. Dougherty, Algebraic Coding Theory Over Finite Commutative Rings, SpringerBriefs in Mathematics, Springer, Cham, 2017. doi: 10.1007/978-3-319-59806-2.  Google Scholar

[4]

S. T. DoughertyP. GaboritM. Harada and P. Sole, Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$, IEEE Trans. Inform. Theory, 45 (1999), 32-45.  doi: 10.1109/18.746770.  Google Scholar

[5]

S. T. Dougherty, J. Gildea and A. Kaya, Quadruple bordered constructions of self-dual codes from group rings over Frobenius rings, Cryptogr. Commun., (2019), 1–20. doi: 10.1007/s12095-019-00380-8.  Google Scholar

[6]

S. T. DoughertyJ. GildeaR. Taylor and A. Tylshchak, Group rings, $G$-codes and constructions of self-dual and formally self-dual codes, Des. Codes Cryptogr., 86 (2018), 2115-2138.  doi: 10.1007/s10623-017-0440-7.  Google Scholar

[7]

S. T. DoughertyT. A. Gulliver and M. Harada, Extremal binary self dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 43 (1997), 2036-2047.  doi: 10.1109/18.641574.  Google Scholar

[8]

S. T. DoughertyJ.-L. KimH. Kulosman and H. Liu, Self-dual codes over commutative Frobenius rings, Finite Fields Appl., 16 (2010), 14-26.  doi: 10.1016/j.ffa.2009.11.004.  Google Scholar

[9]

S. T. DoughertyJ. GildeaA. KorbanA. KayaA. Tylyshchak and B. Yildiz, Bordered constructions of self-dual codes from group rings and new extremal binary self-dual code, Finite Fields Appl., 57 (2019), 108-127.  doi: 10.1016/j.ffa.2019.02.004.  Google Scholar

[10]

S. T. Dougherty, J. Gildea, A. Korban and A. Kaya, Binary generator matrices for extremal binary self-dual codes of length $68$, Available from: http://abidinkaya.wixsite.com/math/adrian1. Google Scholar

[11]

P. GaboritV. PlessP. Sole and O. Atkin, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4$", Finite Fields Appl., 8 (2002), 171-183.  doi: 10.1006/ffta.2001.0333.  Google Scholar

[12]

J. GildeaA. KayaR. Taylor and B. Yildiz, Constructions for self-dual codes induced from group rings, Finite Fields Appl., 51 (2018), 71-92.  doi: 10.1016/j.ffa.2018.01.002.  Google Scholar

[13]

T. Hurley, Group rings and rings of matrices, Int. J. Pure Appl. Math., 31 (2006), 319-335.   Google Scholar

[14]

A. Kaya and B. Yildiz, Various constructions for self-dual codes over rings and new binary self-dual codes, Discrete Math., 339 (2016), 460-469.  doi: 10.1016/j.disc.2015.09.010.  Google Scholar

[15]

S. Ling and P. Sole, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4+u \mathbb{F}_4$", European J. Combin., 22 (2001), 983-997.  doi: 10.1006/eujc.2001.0509.  Google Scholar

[16]

E. M. Rains, Shadow bounds for self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 44 (1998), 134-139.  doi: 10.1109/18.651000.  Google Scholar

Table 1.  Theorem 3.1 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (1,1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega+1,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (0,0) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (0,\omega+1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_3 $ $ (0,0) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_4 $ $ (0,0) $ $ (1,1) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega+1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^9 3^25 $
$ C_5 $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^73 $
$ C_6 $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (0,1) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (1,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^{11}3 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (1,1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega+1,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (0,0) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (0,\omega+1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_3 $ $ (0,0) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_4 $ $ (0,0) $ $ (1,1) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega+1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^9 3^25 $
$ C_5 $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^73 $
$ C_6 $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (0,1) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (1,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^{11}3 $
Table 2.  The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images
code $ r_{A_1} $ $ r_{B_1} $ $ r_{A_2} $ $ r_{B_2} $ $ r_{A_3} $ $ r_{B_3} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ I_{1} $ $ C_5 $ $ (z_4,a_3) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_3,a_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (b_1,z_3) $ $ (a_1,b_2) $ $ 8 $ $ 2^4 $
$ I_{2} $ $ C_5 $ $ (z_3,a_1) $ $ (b_3,c_1) $ $ (z_2,a_3) $ $ (b_4,b_3) $ $ (b_3,z_2) $ $ (a_3,b_4) $ $ 8 $ $ 2^5 $
$ I_3 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_2,c_2) $ $ (z_4,z_2) $ $ (c_1,b_1) $ $ (b_1,z_4) $ $ (z_2,c_1) $ $ 12 $ $ 2^4 $
$ I_4 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,c_3) $ $ (z_2,z_4) $ $ (c_1,b_2) $ $ (b_2,z_2) $ $ (z_4,c_1) $ $ 24 $ $ 2^4 $
$ I_5 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_4,c_4) $ $ (z_2,z_4) $ $ (c_2,b_2) $ $ (b_2,z_2) $ $ (z_4,c_2) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ I_6 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,c_3) $ $ (z_4,z_2) $ $ (c_2,b_2) $ $ (b_2,z_4) $ $ (z_2,c_2) $ $ 28 $ $ 2^4 $
$ I_7 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_4,c_4) $ $ (z_2,z_3) $ $ (c_2,b_1) $ $ (b_1,z_2) $ $ (z_3,c_2) $ $ 32 $ $ 2^5 $
$ I_8 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_4,c_4) $ $ (z_3,z_4) $ $ (c_2,b_4) $ $ (b_4,z_3) $ $ (z_4,c_2) $ $ 32 $ $ 2^6 $
$ I_{9} $ $ C_5 $ $ (z_2,a_1) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_4,a_1) $ $ (b_4,b_4) $ $ (b_4,z_4) $ $ (a_1,b_4) $ $ 40 $ $ 2^5 $
code $ r_{A_1} $ $ r_{B_1} $ $ r_{A_2} $ $ r_{B_2} $ $ r_{A_3} $ $ r_{B_3} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ I_{1} $ $ C_5 $ $ (z_4,a_3) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_3,a_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (b_1,z_3) $ $ (a_1,b_2) $ $ 8 $ $ 2^4 $
$ I_{2} $ $ C_5 $ $ (z_3,a_1) $ $ (b_3,c_1) $ $ (z_2,a_3) $ $ (b_4,b_3) $ $ (b_3,z_2) $ $ (a_3,b_4) $ $ 8 $ $ 2^5 $
$ I_3 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_2,c_2) $ $ (z_4,z_2) $ $ (c_1,b_1) $ $ (b_1,z_4) $ $ (z_2,c_1) $ $ 12 $ $ 2^4 $
$ I_4 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,c_3) $ $ (z_2,z_4) $ $ (c_1,b_2) $ $ (b_2,z_2) $ $ (z_4,c_1) $ $ 24 $ $ 2^4 $
$ I_5 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_4,c_4) $ $ (z_2,z_4) $ $ (c_2,b_2) $ $ (b_2,z_2) $ $ (z_4,c_2) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ I_6 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,c_3) $ $ (z_4,z_2) $ $ (c_2,b_2) $ $ (b_2,z_4) $ $ (z_2,c_2) $ $ 28 $ $ 2^4 $
$ I_7 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_4,c_4) $ $ (z_2,z_3) $ $ (c_2,b_1) $ $ (b_1,z_2) $ $ (z_3,c_2) $ $ 32 $ $ 2^5 $
$ I_8 $ $ C_2 $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_4,c_4) $ $ (z_3,z_4) $ $ (c_2,b_4) $ $ (b_4,z_3) $ $ (z_4,c_2) $ $ 32 $ $ 2^6 $
$ I_{9} $ $ C_5 $ $ (z_2,a_1) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_4,a_1) $ $ (b_4,b_4) $ $ (b_4,z_4) $ $ (a_1,b_4) $ $ 40 $ $ 2^5 $
Table 3.  Theorem 3.2 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,1) $ $ (1,0) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (\omega+1,1) $ $ (\omega,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_3 $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_4 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_5 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_6 $ $ (0,1) $ $ (1,0) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,1) $ $ (1,0) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (\omega+1,1) $ $ (\omega,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_3 $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_4 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_5 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_6 $ $ (0,1) $ $ (1,0) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
Table 4.  The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images
code $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_B{_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ J_1 $ $ C_6 $ $ (z_2,a_1) $ $ (a_1,z_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (a_2,b_1) $ $ (z_4,b_1) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ J_2 $ $ C_6 $ $ (z_4,a_3) $ $ (a_3,z_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ J_3 $ $ C_6 $ $ (z_3,a_1) $ $ (a_1,z_3) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ J_4 $ $ C_2 $ $ (z_4,a_1) $ $ (a_1,z_4) $ $ (a_3,b_4) $ $ (a_3,c_2) $ $ (c_2,a_3) $ $ (b_4,a_3) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ J_5 $ $ C_3 $ $ (b_1,c_2) $ $ (c_2,b_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ J_6 $ $ C_3 $ $ (b_2,c_1) $ $ (c_1,b_2) $ $ (b_1,z_2) $ $ (b_1,a_3) $ $ (a_3,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ J_7 $ $ C_3 $ $ (b_2,c_4) $ $ (c_4,b_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (a_2,b_1) $ $ (z_4,b_1) $ $ 48 $ $ 2^5 $
$ J_8 $ $ C_3 $ $ (b_1,c_3) $ $ (c_3,b_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 52 $ $ 2^5 $
code $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_B{_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ J_1 $ $ C_6 $ $ (z_2,a_1) $ $ (a_1,z_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (a_2,b_1) $ $ (z_4,b_1) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ J_2 $ $ C_6 $ $ (z_4,a_3) $ $ (a_3,z_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ J_3 $ $ C_6 $ $ (z_3,a_1) $ $ (a_1,z_3) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ J_4 $ $ C_2 $ $ (z_4,a_1) $ $ (a_1,z_4) $ $ (a_3,b_4) $ $ (a_3,c_2) $ $ (c_2,a_3) $ $ (b_4,a_3) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ J_5 $ $ C_3 $ $ (b_1,c_2) $ $ (c_2,b_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ J_6 $ $ C_3 $ $ (b_2,c_1) $ $ (c_1,b_2) $ $ (b_1,z_2) $ $ (b_1,a_3) $ $ (a_3,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ J_7 $ $ C_3 $ $ (b_2,c_4) $ $ (c_4,b_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (a_2,b_1) $ $ (z_4,b_1) $ $ 48 $ $ 2^5 $
$ J_8 $ $ C_3 $ $ (b_1,c_3) $ $ (c_3,b_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 52 $ $ 2^5 $
Table 5.  Theorem 3.3 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ \psi_{ \mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ \psi_{ \mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
Table 6.  Theorem 3.4 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ \psi_{ \mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ \psi_{ \mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega+1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
Table 7.  Theorem 3.5 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ r_{A_{4}} $ $ r_{B_{4}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (0,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^53 \cdot 5 \cdot 31 $
$ C_3 $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,0) $ $ (\omega+1,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_4 $ $ (0,\omega) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (0,\omega+1) $ $ (\omega,\omega) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_5 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_6 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_7 $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (1,0) $ $ (\omega,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
$ C_{8} $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (\omega,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^33 $
$ C_{9} $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^5 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ r_{A_{4}} $ $ r_{B_{4}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (0,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^53 \cdot 5 \cdot 31 $
$ C_3 $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,0) $ $ (\omega+1,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_4 $ $ (0,\omega) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega+1,1) $ $ (0,\omega+1) $ $ (\omega,\omega) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_5 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_6 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_7 $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (1,0) $ $ (\omega,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
$ C_{8} $ $ (0,0) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (\omega,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (1,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^33 $
$ C_{9} $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^5 $
Table 8.  The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images
code $ r_{A_1} $ $ r_{B_1} $ $ r_{A_2} $ $ r_{B_2} $ $ r_{A_3} $ $ r_{B_3} $ $ r_{A_4} $ $ r_{B_4} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ K_{1} $ $ C_2 $ $ (z_1,z_2) $ $ (a_3,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ (c_1,c_4) $ $ (z_2,c_4) $ $ (c_1,b_1) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,z_2) $ $ 0 $ $ 2^5 $
$ K_{2} $ $ C_3 $ $ (z_1,a_1) $ $ (a_3,b_1) $ $ (a_3,z_2) $ $ (c_2,a_2) $ $ (a_3,a_2) $ $ (c_2,z_2) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,a_1) $ $ 0 $ $ 2^4 $
$ K_{3} $ $ C_{9} $ $ (z_1,a_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_1,b_1) $ $ (c_2,c_4) $ $ (a_1,c_4) $ $ (c_2,b_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_3,a_1) $ $ 0 $ $ 2^5 $
$ K_{4} $ $ C_7 $ $ (z_1,z_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_1,z_3) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_1,a_4) $ $ (b_2,z_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_1,z_1) $ $ 0 $ $ 2^4 $
$ K_{5} $ $ C_4 $ $ (z_2,b_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_2,a_2) $ $ (c_2,b_4) $ $ (b_2,b_4) $ $ (c_2a_2) $ $ (z_2,c_2) $ $ (b_1,b_2) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ K_{6} $ $ C_4 $ $ (z_2,b_1) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,a_1) $ $ (c_1,b_2) $ $ (b_2,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (z_2,c_4) $ $ (b_2,b_1) $ $ 4 $ $ 2^4 $
$ K_{7} $ $ C_7 $ $ (z_4,z_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,z_4) $ $ (b_4,a_4) $ $ (a_3,a_4) $ $ (b_4,z_4) $ $ (z_4,b_2) $ $ (a_3,z_1) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ K_8 $ $ C_1 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_1) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_4,b_4) $ $ (c_1,b_4) $ $ (c_4,a_1) $ $ (z_1,b_1) $ $ (z_3,z_2) $ $ 8 $ $ 2^5 $
$ K_{9} $ $ C_1 $ $ (z_2,z_4) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_3) $ $ (c_2,b_4) $ $ (c_1,b_4) $ $ (c_2,a_3) $ $ (z_2,b_2) $ $ (z_3,z_4) $ $ 8 $ $ 2^4 $
$ K_{10} $ $ C_2 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ (c_4,c_3) $ $ (z_2,c_3) $ $ (c_4,b_1) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,z_2) $ $ 12 $ $ 2^4 $
$ K_{11} $ $ C_4 $ $ (z_4,b_1) $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_1,a_3) $ $ (c_4,b_4) $ $ (b_1,b_4) $ $ (c_4,a_3) $ $ (z_4,c_4) $ $ (b_1,b_1) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ K_{12} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_1) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_3) $ $ (c_4,b_4) $ $ (c_1,b_4) $ $ (c_4,a_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_1) $ $ 16 $ $ 2^6 $
$ K_{13} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_3) $ $ (z_4,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_2,b_2) $ $ (c_1,b_2) $ $ (c_2,a_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_4,z_3) $ $ 16 $ $ 2^4 $
$ K_{14} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_3) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_2,a_1) $ $ (c_3,b_3) $ $ (c_2,b_3) $ $ (c_3,a_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_3) $ $ 16 $ $ 2^5 $
$ K_{15} $ $ C_2 $ $ (z_2,z_2) $ $ (a_1,b_1) $ $ (z_3,b_1) $ $ (c_2,c_4) $ $ (z_3,z_4) $ $ (c_2,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ (a_1,z_2) $ $ 20 $ $ 2^4 $
$ K_{16} $ $ C_3 $ $ (z_2,a_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,z_2) $ $ (c_4,a_4) $ $ (a_3,a_4) $ $ (c_4,z_2) $ $ (z_2,b_2) $ $ (a_3,a_1) $ $ 20 $ $ 2^5 $
$ K_{17} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_3) $ $ (c_4,b_2) $ $ (c_1,b_2) $ $ (c_4,a_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_2) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ K_{18} $ $ C_1 $ $ (z_2,z_2) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_2,b_1) $ $ (c_1,b_1) $ $ (c_2,a_1) $ $ (z_2,b_2) $ $ (z_3,z_2) $ $ 24 $ $ 2^4 $
$ K_{19} $ $ C_2 $ $ (z_2,z_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (z_4,b_2) $ $ (c_1,c_3) $ $ (z_4,c_3) $ $ (c_1,b_2) $ $ (z_2,b_2) $ $ (a_1,z_1) $ $ 28 $ $ 2^4 $
$ K_{20} $ $ C_4 $ $ (z_1,b_1) $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_1,a_4) $ $ (c_2,b_2) $ $ (b_1,b_2) $ $ (c_2,a_4) $ $ (z_1,c_2) $ $ (b_2,b_1) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ K_{21} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_4,b_3) $ $ (z_1,b_3) $ $ (a_4,a_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_2) $ $ 32 $ $ 2^5 $
$ K_{22} $ $ C_4 $ $ (z_4,b_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_1) $ $ (c_3,b_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (c_3,a_1) $ $ (z_4,c_1) $ $ (b_1,b_2) $ $ 32 $ $ 2^4 $
$ K_{23} $ $ C_7 $ $ (z_1,z_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_1,z_4) $ $ (b_1,a_3) $ $ (a_1,a_3) $ $ (b_1,z_4) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_3,z_1) $ $ 36 $ $ 2^4 $
$ K_{24} $ $ C_4 $ $ (z_3,b_1) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_1,a_4) $ $ (c_4,b_3) $ $ (b_1,b_3) $ $ (c_4,a_4) $ $ (z_3,c_4) $ $ (b_2,b_1) $ $ 36 $ $ 2^5 $
$ K_{25} $ $ C_5 $ $ (z_1,z_4) $ $ (z_4,b_2) $ $ (a_1,z_2) $ $ (a_2,c_1) $ $ (a_1,c_1) $ $ (a_2,z_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_4,z_4) $ $ 40 $ $ 2^5 $
$ K_{26} $ $ C_2 $ $ (z_4,z_1) $ $ (a_1,b_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (c_2,c_1) $ $ (z_1,c_1) $ $ (c_2,b_2) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_1,z_1) $ $ 44 $ $ 2^43 $
$ K_{27} $ $ C_4 $ $ (z_2,b_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_3) $ $ (c_1,b_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (c_1,a_3) $ $ (z_2,c_1) $ $ (b_1,b_2) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ K_{28} $ $ C_4 $ $ (z_4,b_2) $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_2,a_2) $ $ (c_4,b_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (c_4,a_2) $ $ (z_4,c_4) $ $ (b_1,b_2) $ $ 48 $ $ 2^5 $
$ K_{29} $ $ C_4 $ $ (z_1,b_1) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_1,a_4) $ $ (c_3,b_2) $ $ (b_1,b_2) $ $ (c_3,a_4) $ $ (z_1,c_3) $ $ (b_2,b_1) $ $ 52 $ $ 2^5 $
code $ r_{A_1} $ $ r_{B_1} $ $ r_{A_2} $ $ r_{B_2} $ $ r_{A_3} $ $ r_{B_3} $ $ r_{A_4} $ $ r_{B_4} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ K_{1} $ $ C_2 $ $ (z_1,z_2) $ $ (a_3,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ (c_1,c_4) $ $ (z_2,c_4) $ $ (c_1,b_1) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,z_2) $ $ 0 $ $ 2^5 $
$ K_{2} $ $ C_3 $ $ (z_1,a_1) $ $ (a_3,b_1) $ $ (a_3,z_2) $ $ (c_2,a_2) $ $ (a_3,a_2) $ $ (c_2,z_2) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,a_1) $ $ 0 $ $ 2^4 $
$ K_{3} $ $ C_{9} $ $ (z_1,a_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_1,b_1) $ $ (c_2,c_4) $ $ (a_1,c_4) $ $ (c_2,b_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_3,a_1) $ $ 0 $ $ 2^5 $
$ K_{4} $ $ C_7 $ $ (z_1,z_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_1,z_3) $ $ (b_2,a_4) $ $ (a_1,a_4) $ $ (b_2,z_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_1,z_1) $ $ 0 $ $ 2^4 $
$ K_{5} $ $ C_4 $ $ (z_2,b_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_2,a_2) $ $ (c_2,b_4) $ $ (b_2,b_4) $ $ (c_2a_2) $ $ (z_2,c_2) $ $ (b_1,b_2) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ K_{6} $ $ C_4 $ $ (z_2,b_1) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,a_1) $ $ (c_1,b_2) $ $ (b_2,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (z_2,c_4) $ $ (b_2,b_1) $ $ 4 $ $ 2^4 $
$ K_{7} $ $ C_7 $ $ (z_4,z_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,z_4) $ $ (b_4,a_4) $ $ (a_3,a_4) $ $ (b_4,z_4) $ $ (z_4,b_2) $ $ (a_3,z_1) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ K_8 $ $ C_1 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_1) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_4,b_4) $ $ (c_1,b_4) $ $ (c_4,a_1) $ $ (z_1,b_1) $ $ (z_3,z_2) $ $ 8 $ $ 2^5 $
$ K_{9} $ $ C_1 $ $ (z_2,z_4) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_3) $ $ (c_2,b_4) $ $ (c_1,b_4) $ $ (c_2,a_3) $ $ (z_2,b_2) $ $ (z_3,z_4) $ $ 8 $ $ 2^4 $
$ K_{10} $ $ C_2 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ (c_4,c_3) $ $ (z_2,c_3) $ $ (c_4,b_1) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,z_2) $ $ 12 $ $ 2^4 $
$ K_{11} $ $ C_4 $ $ (z_4,b_1) $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_1,a_3) $ $ (c_4,b_4) $ $ (b_1,b_4) $ $ (c_4,a_3) $ $ (z_4,c_4) $ $ (b_1,b_1) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ K_{12} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_1) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_3) $ $ (c_4,b_4) $ $ (c_1,b_4) $ $ (c_4,a_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_1) $ $ 16 $ $ 2^6 $
$ K_{13} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_3) $ $ (z_4,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_2,b_2) $ $ (c_1,b_2) $ $ (c_2,a_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_4,z_3) $ $ 16 $ $ 2^4 $
$ K_{14} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_3) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_2,a_1) $ $ (c_3,b_3) $ $ (c_2,b_3) $ $ (c_3,a_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_3) $ $ 16 $ $ 2^5 $
$ K_{15} $ $ C_2 $ $ (z_2,z_2) $ $ (a_1,b_1) $ $ (z_3,b_1) $ $ (c_2,c_4) $ $ (z_3,z_4) $ $ (c_2,b_1) $ $ (z_2,b_1) $ $ (a_1,z_2) $ $ 20 $ $ 2^4 $
$ K_{16} $ $ C_3 $ $ (z_2,a_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,z_2) $ $ (c_4,a_4) $ $ (a_3,a_4) $ $ (c_4,z_2) $ $ (z_2,b_2) $ $ (a_3,a_1) $ $ 20 $ $ 2^5 $
$ K_{17} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_3) $ $ (c_4,b_2) $ $ (c_1,b_2) $ $ (c_4,a_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_2) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ K_{18} $ $ C_1 $ $ (z_2,z_2) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_2,b_1) $ $ (c_1,b_1) $ $ (c_2,a_1) $ $ (z_2,b_2) $ $ (z_3,z_2) $ $ 24 $ $ 2^4 $
$ K_{19} $ $ C_2 $ $ (z_2,z_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (z_4,b_2) $ $ (c_1,c_3) $ $ (z_4,c_3) $ $ (c_1,b_2) $ $ (z_2,b_2) $ $ (a_1,z_1) $ $ 28 $ $ 2^4 $
$ K_{20} $ $ C_4 $ $ (z_1,b_1) $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_1,a_4) $ $ (c_2,b_2) $ $ (b_1,b_2) $ $ (c_2,a_4) $ $ (z_1,c_2) $ $ (b_2,b_1) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ K_{21} $ $ C_1 $ $ (z_1,z_2) $ $ (z_3,b_2) $ $ (c_1,a_1) $ $ (c_4,b_3) $ $ (z_1,b_3) $ $ (a_4,a_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_3,z_2) $ $ 32 $ $ 2^5 $
$ K_{22} $ $ C_4 $ $ (z_4,b_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_1) $ $ (c_3,b_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (c_3,a_1) $ $ (z_4,c_1) $ $ (b_1,b_2) $ $ 32 $ $ 2^4 $
$ K_{23} $ $ C_7 $ $ (z_1,z_1) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_1,z_4) $ $ (b_1,a_3) $ $ (a_1,a_3) $ $ (b_1,z_4) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_3,z_1) $ $ 36 $ $ 2^4 $
$ K_{24} $ $ C_4 $ $ (z_3,b_1) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_1,a_4) $ $ (c_4,b_3) $ $ (b_1,b_3) $ $ (c_4,a_4) $ $ (z_3,c_4) $ $ (b_2,b_1) $ $ 36 $ $ 2^5 $
$ K_{25} $ $ C_5 $ $ (z_1,z_4) $ $ (z_4,b_2) $ $ (a_1,z_2) $ $ (a_2,c_1) $ $ (a_1,c_1) $ $ (a_2,z_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ (z_4,z_4) $ $ 40 $ $ 2^5 $
$ K_{26} $ $ C_2 $ $ (z_4,z_1) $ $ (a_1,b_1) $ $ (z_1,b_2) $ $ (c_2,c_1) $ $ (z_1,c_1) $ $ (c_2,b_2) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_1,z_1) $ $ 44 $ $ 2^43 $
$ K_{27} $ $ C_4 $ $ (z_2,b_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_3) $ $ (c_1,b_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (c_1,a_3) $ $ (z_2,c_1) $ $ (b_1,b_2) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ K_{28} $ $ C_4 $ $ (z_4,b_2) $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_2,a_2) $ $ (c_4,b_1) $ $ (b_2,b_1) $ $ (c_4,a_2) $ $ (z_4,c_4) $ $ (b_1,b_2) $ $ 48 $ $ 2^5 $
$ K_{29} $ $ C_4 $ $ (z_1,b_1) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_1,a_4) $ $ (c_3,b_2) $ $ (b_1,b_2) $ $ (c_3,a_4) $ $ (z_1,c_3) $ $ (b_2,b_1) $ $ 52 $ $ 2^5 $
Table 9.  Theorem 3.6 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ r_{A_{4}} $ $ r_{B_{4}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_2 $ $ (0,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega,1) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,0) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_4 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_5 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,0) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_6 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,0) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ r_{A_{4}} $ $ r_{B_{4}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_2 $ $ (0,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega,1) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,0) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_4 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (1,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_5 $ $ (0,0) $ $ (0,\omega) $ $ (\omega+1,0) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,\omega+1) $ $ (\omega+1,0) $ $ (0,\omega) $ $ (0,0) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_6 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,0) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,1) $ $ (\omega,0) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
Table 10.  The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images
code $ r_{A_1} $ $ r_{B_1} $ $ r_{A_2} $ $ r_{B_2} $ $ r_{A_3} $ $ r_{B_3} $ $ r_{A_4} $ $ r_{B_4} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ L_{1} $ $ C_6 $ $ (z_2,a_1) $ $ (z_2,a_1) $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ (z_2,a_1) $ $ (z_2,a_1) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ L_{2} $ $ C_6 $ $ (z_4,a_3) $ $ (z_4,a_3) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ (z_4,a_3) $ $ (z_4,a_3) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ L_{3} $ $ C_4 $ $ (z_2,z_4) $ $ (z_2,b_2) $ $ (a_1,a_2) $ $ (a_1,b_1) $ $ (a_1,b_1) $ $ (a_1,a_2) $ $ (z_2,b_2) $ $ (z_2,z_4) $ $ 8 $ $ 2^5 $
$ L_{4} $ $ C_6 $ $ (z_3,a_1) $ $ (z_3,a_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ (z_3,a_1) $ $ (z_3,a_1) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ L_{5} $ $ C_5 $ $ (z_2,z_3) $ $ (z_2,b_1) $ $ (c_1,z_4) $ $ (c_1,c_3) $ $ (c_1,c_3) $ $ (c_1,z_4) $ $ (z_2,b_1) $ $ (z_2,z_3) $ $ 16 $ $ 2^4 $
$ L_6 $ $ C_3 $ $ (b_2,z_3) $ $ (b_2,a_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_2) $ $ (b_2,z_3) $ $ 20 $ $ 2^4 $
$ L_7 $ $ C_3 $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_1) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ 24 $ $ 2^4 $
$ L_{8} $ $ C_4 $ $ (z_1,z_3) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,a_4) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,a_4) $ $ (z_1,b_1) $ $ (z_1,z_3) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ L_9 $ $ C_3 $ $ (b_1,z_2) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_1,z_2) $ $ 28 $ $ 2^4 $
$ L_{10} $ $ C_3 $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ L_{11} $ $ C_3 $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_1,z_4) $ $ 32 $ $ 2^4 $
$ L_{12} $ $ C_4 $ $ (z_3,z_1) $ $ (z_3,b_1) $ $ (a_3,a_4) $ $ (a_3,b_1) $ $ (a_3,b_1) $ $ (a_3,a_4) $ $ (z_3,b_1) $ $ (z_3,z_1) $ $ 40 $ $ 2^5 $
$ L_{13} $ $ C_3 $ $ (b_1,z_2) $ $ (b_1,a_3) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_1,a_3) $ $ (b_1,z_2) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ L_{14} $ $ C_3 $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ 48 $ $ 2^4 $
$ L_{15} $ $ C_3 $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ 52 $ $ 2^5 $
code $ r_{A_1} $ $ r_{B_1} $ $ r_{A_2} $ $ r_{B_2} $ $ r_{A_3} $ $ r_{B_3} $ $ r_{A_4} $ $ r_{B_4} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ L_{1} $ $ C_6 $ $ (z_2,a_1) $ $ (z_2,a_1) $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ (z_2,a_1) $ $ (z_2,a_1) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ L_{2} $ $ C_6 $ $ (z_4,a_3) $ $ (z_4,a_3) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ (z_4,a_3) $ $ (z_4,a_3) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ L_{3} $ $ C_4 $ $ (z_2,z_4) $ $ (z_2,b_2) $ $ (a_1,a_2) $ $ (a_1,b_1) $ $ (a_1,b_1) $ $ (a_1,a_2) $ $ (z_2,b_2) $ $ (z_2,z_4) $ $ 8 $ $ 2^5 $
$ L_{4} $ $ C_6 $ $ (z_3,a_1) $ $ (z_3,a_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ (z_3,a_1) $ $ (z_3,a_1) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ L_{5} $ $ C_5 $ $ (z_2,z_3) $ $ (z_2,b_1) $ $ (c_1,z_4) $ $ (c_1,c_3) $ $ (c_1,c_3) $ $ (c_1,z_4) $ $ (z_2,b_1) $ $ (z_2,z_3) $ $ 16 $ $ 2^4 $
$ L_6 $ $ C_3 $ $ (b_2,z_3) $ $ (b_2,a_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_2) $ $ (b_2,z_3) $ $ 20 $ $ 2^4 $
$ L_7 $ $ C_3 $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_1) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_2,a_1) $ $ (b_2,z_1) $ $ 24 $ $ 2^4 $
$ L_{8} $ $ C_4 $ $ (z_1,z_3) $ $ (z_1,b_1) $ $ (a_3,a_4) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,b_2) $ $ (a_3,a_4) $ $ (z_1,b_1) $ $ (z_1,z_3) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ L_9 $ $ C_3 $ $ (b_1,z_2) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_1,z_2) $ $ 28 $ $ 2^4 $
$ L_{10} $ $ C_3 $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ L_{11} $ $ C_3 $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_3) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_1,a_1) $ $ (b_1,z_4) $ $ 32 $ $ 2^4 $
$ L_{12} $ $ C_4 $ $ (z_3,z_1) $ $ (z_3,b_1) $ $ (a_3,a_4) $ $ (a_3,b_1) $ $ (a_3,b_1) $ $ (a_3,a_4) $ $ (z_3,b_1) $ $ (z_3,z_1) $ $ 40 $ $ 2^5 $
$ L_{13} $ $ C_3 $ $ (b_1,z_2) $ $ (b_1,a_3) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_2,c_1) $ $ (b_1,a_3) $ $ (b_1,z_2) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ L_{14} $ $ C_3 $ $ (b_1,z_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_1,a_2) $ $ (b_1,z_4) $ $ 48 $ $ 2^4 $
$ L_{15} $ $ C_3 $ $ (b_2,z_1) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_2,a_4) $ $ (b_2,z_1) $ $ 52 $ $ 2^5 $
Table 11.  Theorem 3.7 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (1,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (0,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (1,1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (1,1) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_2 $ $ (0,0) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_3 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (\omega,\omega) $ $ (\omega,\omega) $ $ (0,1) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^83 $
Table 12.  Theorem 3.8 over $ \mathbb{F}_4 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_2 $ $ (\omega, \omega+1) $ $ (\omega, \omega+1) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_3 $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_4 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
$ C_5 $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,\omega+1) $ $ (0,\omega+1) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
$ C_i $ $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $ $ |Aut(C)| $
$ C_1 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_2 $ $ (\omega, \omega+1) $ $ (\omega, \omega+1) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,8]_{I} $ $ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_3 $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega+1) $ $ (1,\omega) $ $ [32,16,8]_{II} $ $ 2^93^25 $
$ C_4 $ $ (0,1) $ $ (0,1) $ $ (0,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (1,\omega) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^6 $
$ C_5 $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (\omega,\omega+1) $ $ (0,\omega) $ $ (0,\omega+1) $ $ (0,\omega+1) $ $ (0,\omega) $ $ [32,16,6]_{I} $ $ 2^93^25 $
Table 13.  The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images
code $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ M_1 $ $ C_2 $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_2,b_1) $ $ (a_2,b_4) $ $ (a_2,b_4) $ $ (z_2,b_1) $ $ 0 $ $ 2^5 $
$ M_{2} $ $ C_2 $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_2,c_2) $ $ (z_2,b_1) $ $ (a_2,b_4) $ $ (a_2,b_4) $ $ (z_2,b_1) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ M_{3} $ $ C_3 $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_1,c_4) $ $ (a_1,c_4) $ $ (a_1,b_2) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ M_4 $ $ C_2 $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_1,c_4) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_3,b_4) $ $ (a_3,b_4) $ $ (z_4,b_1) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ M_{5} $ $ C_3 $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_2,c_2) $ $ (a_1,b_3) $ $ (a_2,c_4) $ $ (a_2,c_4) $ $ (a_1,b_3) $ $ 16 $ $ 2^5 $
$ M_6 $ $ C_1 $ $ (z_2,a_3) $ $ (z_2,a_3) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_4,c_1) $ $ (a_4,c_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ 20 $ $ 2^5 $
$ M_7 $ $ C_1 $ $ (z_2,a_3) $ $ (z_2,a_3) $ $ (a_1,b_3) $ $ (a_3,c_4) $ $ (a_3,c_4) $ $ (a_1,b_3) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ M_8 $ $ C_2 $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ M_{9} $ $ C_3 $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_2,c_3) $ $ (a_2,c_3) $ $ (a_1,b_2) $ $ 32 $ $ 2^6 $
$ M_{10} $ $ C_2 $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_1,c_4) $ $ (z_3,b_2) $ $ (a_4,b_3) $ $ (a_4,b_3) $ $ (z_3,b_2) $ $ 36 $ $ 2^5 $
$ M_{11} $ $ C_2 $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_1,b_2) $ $ (z_4,b_1) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ M_{12} $ $ C_2 $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_2,b_1) $ $ (a_2,b_1) $ $ (z_4,b_1) $ $ 48 $ $ 2^5 $
$ M_{13} $ $ C_2 $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 52 $ $ 2^5 $
code $ r_{A_{1}} $ $ r_{B_{1}} $ $ r_{A_{2}} $ $ r_{B_{2}} $ $ r_{A_{3}} $ $ r_{B_{3}} $ $ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $ $ |Aut(C)| $
$ M_1 $ $ C_2 $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_2,b_1) $ $ (a_2,b_4) $ $ (a_2,b_4) $ $ (z_2,b_1) $ $ 0 $ $ 2^5 $
$ M_{2} $ $ C_2 $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_2,c_2) $ $ (z_2,b_1) $ $ (a_2,b_4) $ $ (a_2,b_4) $ $ (z_2,b_1) $ $ 0 $ $ 2^6 $
$ M_{3} $ $ C_3 $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_1,c_4) $ $ (a_1,c_4) $ $ (a_1,b_2) $ $ 4 $ $ 2^5 $
$ M_4 $ $ C_2 $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_1,c_4) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_3,b_4) $ $ (a_3,b_4) $ $ (z_4,b_1) $ $ 12 $ $ 2^5 $
$ M_{5} $ $ C_3 $ $ (b_2,c_2) $ $ (b_2,c_2) $ $ (a_1,b_3) $ $ (a_2,c_4) $ $ (a_2,c_4) $ $ (a_1,b_3) $ $ 16 $ $ 2^5 $
$ M_6 $ $ C_1 $ $ (z_2,a_3) $ $ (z_2,a_3) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_4,c_1) $ $ (a_4,c_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ 20 $ $ 2^5 $
$ M_7 $ $ C_1 $ $ (z_2,a_3) $ $ (z_2,a_3) $ $ (a_1,b_3) $ $ (a_3,c_4) $ $ (a_3,c_4) $ $ (a_1,b_3) $ $ 24 $ $ 2^5 $
$ M_8 $ $ C_2 $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 28 $ $ 2^5 $
$ M_{9} $ $ C_3 $ $ (b_1,c_1) $ $ (b_1,c_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_2,c_3) $ $ (a_2,c_3) $ $ (a_1,b_2) $ $ 32 $ $ 2^6 $
$ M_{10} $ $ C_2 $ $ (b_1,c_4) $ $ (b_1,c_4) $ $ (z_3,b_2) $ $ (a_4,b_3) $ $ (a_4,b_3) $ $ (z_3,b_2) $ $ 36 $ $ 2^5 $
$ M_{11} $ $ C_2 $ $ (b_1,c_2) $ $ (b_1,c_2) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_1,b_2) $ $ (a_1,b_2) $ $ (z_4,b_1) $ $ 44 $ $ 2^5 $
$ M_{12} $ $ C_2 $ $ (b_2,c_4) $ $ (b_2,c_4) $ $ (z_4,b_1) $ $ (a_2,b_1) $ $ (a_2,b_1) $ $ (z_4,b_1) $ $ 48 $ $ 2^5 $
$ M_{13} $ $ C_2 $ $ (b_1,c_3) $ $ (b_1,c_3) $ $ (z_1,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (a_4,b_2) $ $ (z_1,b_2) $ $ 52 $ $ 2^5 $
Table 14.  New codes of length 68 from Theorem 5.1
$ D $ $ C $ $ (x_{17},x_{18},\dots ,x_{32}) $ $ c $ $ \gamma $ $ \beta \ \text{in}\ W_{68,2} $
$ C_{68,1} $ $ I_{2} $ $ (u,0,0,3,u,1,3,u,3,3,1,1,3,0,1,0) $ $ u+1 $ $ 0 $ $ 38 $
$ C_{68,2} $ $ K_{3} $ $ (3,1,1,3,u,u,0,u,0,0,0,3,1,1,1,3) $ $ 1 $ $ 1 $ $ 38 $
$ C_{68,3} $ $ K_{3} $ $ (3,3,1,1,0,u,0,u,0,u,0,3,1,1,3,3) $ $ 1 $ $ 1 $ $ 46 $
$ C_{68,4} $ $ K_{2} $ $ (u,1,u,u,1,3,3,3,u,1,1,u,u,0,3,3) $ $ u+1 $ $ 2 $ $ 67 $
$ C_{68,5} $ $ K_{1} $ $ (0,0,1,0,1,3,u,3,u,0,u,0,3,0,3,1) $ $ u+1 $ $ 3 $ $ 77 $
$ C_{68,6} $ $ K_{1} $ $ (1,1,0,3,0,u,u,u,1,1,1,0,1,3,0,3) $ $ u+1 $ $ 3 $ $ 78 $
$ C_{68,7} $ $ I_{1} $ $ (1,3,1,3,1,0,1,0,1,3,1,3,u,1,0,0) $ $ 1 $ $ 3 $ $ 81 $
$ C_{68,8} $ $ K_{23} $ $ (0,u,1,1,u,3,0,1,0,1,1,3,u,1,3,u) $ $ u+1 $ $ 3 $ $ 179 $
$ C_{68,9} $ $ K_{3} $ $ (1,0,0,3,u,3,u,3,1,3,3,3,1,1,1,u) $ $ 1 $ $ 4 $ $ 92 $
$ C_{68,10} $ $ K_{3} $ $ (u,u,3,3,1,1,1,1,3,0,3,3,1,1,0,u) $ $ 1 $ $ 4 $ $ 94 $
$ C_{68,11} $ $ K_{4} $ $ (1,u,1,0,u,u,1,u,1,1,0,u,u,u,1,1) $ $ 1 $ $ 4 $ $ 119 $
$ D $ $ C $ $ (x_{17},x_{18},\dots ,x_{32}) $ $ c $ $ \gamma $ $ \beta \ \text{in}\ W_{68,2} $
$ C_{68,1} $ $ I_{2} $ $ (u,0,0,3,u,1,3,u,3,3,1,1,3,0,1,0) $ $ u+1 $ $ 0 $ $ 38 $
$ C_{68,2} $ $ K_{3} $ $ (3,1,1,3,u,u,0,u,0,0,0,3,1,1,1,3) $ $ 1 $ $ 1 $ $ 38 $
$ C_{68,3} $ $ K_{3} $ $ (3,3,1,1,0,u,0,u,0,u,0,3,1,1,3,3) $ $ 1 $ $ 1 $ $ 46 $
$ C_{68,4} $ $ K_{2} $ $ (u,1,u,u,1,3,3,3,u,1,1,u,u,0,3,3) $ $ u+1 $ $ 2 $ $ 67 $
$ C_{68,5} $ $ K_{1} $ $ (0,0,1,0,1,3,u,3,u,0,u,0,3,0,3,1) $ $ u+1 $ $ 3 $ $ 77 $
$ C_{68,6} $ $ K_{1} $ $ (1,1,0,3,0,u,u,u,1,1,1,0,1,3,0,3) $ $ u+1 $ $ 3 $ $ 78 $
$ C_{68,7} $ $ I_{1} $ $ (1,3,1,3,1,0,1,0,1,3,1,3,u,1,0,0) $ $ 1 $ $ 3 $ $ 81 $
$ C_{68,8} $ $ K_{23} $ $ (0,u,1,1,u,3,0,1,0,1,1,3,u,1,3,u) $ $ u+1 $ $ 3 $ $ 179 $
$ C_{68,9} $ $ K_{3} $ $ (1,0,0,3,u,3,u,3,1,3,3,3,1,1,1,u) $ $ 1 $ $ 4 $ $ 92 $
$ C_{68,10} $ $ K_{3} $ $ (u,u,3,3,1,1,1,1,3,0,3,3,1,1,0,u) $ $ 1 $ $ 4 $ $ 94 $
$ C_{68,11} $ $ K_{4} $ $ (1,u,1,0,u,u,1,u,1,1,0,u,u,u,1,1) $ $ 1 $ $ 4 $ $ 119 $
Table 15.  New codes of length 68 as neighbors
$ D $ $ C $ $ x $ $ \gamma $ $ \beta $
$ C_{68,12} $ $ C_{68,11} $ $ \left( 1010110101000110000001111110000011\right) $ 4 107
$ C_{68,13} $ $ C_{68,10} $ $ \left( 1011111011101111011000100111110111\right) $ 4 115
$ D $ $ C $ $ x $ $ \gamma $ $ \beta $
$ C_{68,12} $ $ C_{68,11} $ $ \left( 1010110101000110000001111110000011\right) $ 4 107
$ C_{68,13} $ $ C_{68,10} $ $ \left( 1011111011101111011000100111110111\right) $ 4 115
[1]

Agnaldo José Ferrari, Tatiana Miguel Rodrigues de Souza. Rotated $ A_n $-lattice codes of full diversity. Advances in Mathematics of Communications, 2020  doi: 10.3934/amc.2020118

[2]

Laurent Di Menza, Virginie Joanne-Fabre. An age group model for the study of a population of trees. Discrete & Continuous Dynamical Systems - S, 2020  doi: 10.3934/dcdss.2020464

[3]

Qiao Liu. Local rigidity of certain solvable group actions on tori. Discrete & Continuous Dynamical Systems - A, 2021, 41 (2) : 553-567. doi: 10.3934/dcds.2020269

[4]

Kien Trung Nguyen, Vo Nguyen Minh Hieu, Van Huy Pham. Inverse group 1-median problem on trees. Journal of Industrial & Management Optimization, 2021, 17 (1) : 221-232. doi: 10.3934/jimo.2019108

[5]

Yasmine Cherfaoui, Mustapha Moulaï. Biobjective optimization over the efficient set of multiobjective integer programming problem. Journal of Industrial & Management Optimization, 2021, 17 (1) : 117-131. doi: 10.3934/jimo.2019102

[6]

Zonghong Cao, Jie Min. Selection and impact of decision mode of encroachment and retail service in a dual-channel supply chain. Journal of Industrial & Management Optimization, 2020  doi: 10.3934/jimo.2020167

[7]

Alberto Bressan, Wen Shen. A posteriori error estimates for self-similar solutions to the Euler equations. Discrete & Continuous Dynamical Systems - A, 2021, 41 (1) : 113-130. doi: 10.3934/dcds.2020168

[8]

Parikshit Upadhyaya, Elias Jarlebring, Emanuel H. Rubensson. A density matrix approach to the convergence of the self-consistent field iteration. Numerical Algebra, Control & Optimization, 2021, 11 (1) : 99-115. doi: 10.3934/naco.2020018

[9]

Fanni M. Sélley. A self-consistent dynamical system with multiple absolutely continuous invariant measures. Journal of Computational Dynamics, 2021, 8 (1) : 9-32. doi: 10.3934/jcd.2021002

[10]

Wenjun Liu, Yukun Xiao, Xiaoqing Yue. Classification of finite irreducible conformal modules over Lie conformal algebra $ \mathcal{W}(a, b, r) $. Electronic Research Archive, , () : -. doi: 10.3934/era.2020123

[11]

Hai-Feng Huo, Shi-Ke Hu, Hong Xiang. Traveling wave solution for a diffusion SEIR epidemic model with self-protection and treatment. Electronic Research Archive, , () : -. doi: 10.3934/era.2020118

2019 Impact Factor: 0.734

Metrics

  • PDF downloads (150)
  • HTML views (482)
  • Cited by (1)

[Back to Top]