# American Institute of Mathematical Sciences

doi: 10.3934/amc.2020037

## Composite constructions of self-dual codes from group rings and new extremal self-dual binary codes of length 68

 1 Department of Mathematics, University of Scranton, Scranton, PA 18510, USA 2 Department of Mathematical and Physical Sciences, University of Chester, Thornton Science Park, Pool Ln, Chester CH2 4NU, England 3 Department of Mathematics Education, Sampoerna University, 12780, Jakarta, Indonesia

Received  December 2018 Revised  September 2019 Published  November 2019

We describe eight composite constructions from group rings where the orders of the groups are 4 and 8, which are then applied to find self-dual codes of length 16 over $\mathbb{F}_4$. These codes have binary images with parameters $[32,16,8]$ or $[32,16,6]$. These are lifted to codes over $\mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4$, to obtain codes with Gray images of extremal self-dual binary codes of length 64. Finally, we use a building-up method over $\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$ to obtain new extremal binary self-dual codes of length 68. We construct 11 new codes via the building-up method and 2 new codes by considering possible neighbors.

Citation: Steven T. Dougherty, Joe Gildea, Adrian Korban, Abidin Kaya. Composite constructions of self-dual codes from group rings and new extremal self-dual binary codes of length 68. Advances in Mathematics of Communications, doi: 10.3934/amc.2020037
##### References:
 [1] W. Bosma, J. Cannon and C. Playoust, The Magma algebra system Ⅰ: The user language, J. Symbolic Comput., 24 (1997), 235-265.  doi: 10.1006/jsco.1996.0125.  Google Scholar [2] J. H. Conway and N. J. A. Solane, A new upper bound on the minimal distance of self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 36 (1990), 1319-1333.  doi: 10.1109/18.59931.  Google Scholar [3] S. T. Dougherty, Algebraic Coding Theory Over Finite Commutative Rings, SpringerBriefs in Mathematics, Springer, Cham, 2017. doi: 10.1007/978-3-319-59806-2.  Google Scholar [4] S. T. Dougherty, P. Gaborit, M. Harada and P. Sole, Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$, IEEE Trans. Inform. Theory, 45 (1999), 32-45.  doi: 10.1109/18.746770.  Google Scholar [5] S. T. Dougherty, J. Gildea and A. Kaya, Quadruple bordered constructions of self-dual codes from group rings over Frobenius rings, Cryptogr. Commun., (2019), 1–20. doi: 10.1007/s12095-019-00380-8.  Google Scholar [6] S. T. Dougherty, J. Gildea, R. Taylor and A. Tylshchak, Group rings, $G$-codes and constructions of self-dual and formally self-dual codes, Des. Codes Cryptogr., 86 (2018), 2115-2138.  doi: 10.1007/s10623-017-0440-7.  Google Scholar [7] S. T. Dougherty, T. A. Gulliver and M. Harada, Extremal binary self dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 43 (1997), 2036-2047.  doi: 10.1109/18.641574.  Google Scholar [8] S. T. Dougherty, J.-L. Kim, H. Kulosman and H. Liu, Self-dual codes over commutative Frobenius rings, Finite Fields Appl., 16 (2010), 14-26.  doi: 10.1016/j.ffa.2009.11.004.  Google Scholar [9] S. T. Dougherty, J. Gildea, A. Korban, A. Kaya, A. Tylyshchak and B. Yildiz, Bordered constructions of self-dual codes from group rings and new extremal binary self-dual code, Finite Fields Appl., 57 (2019), 108-127.  doi: 10.1016/j.ffa.2019.02.004.  Google Scholar [10] S. T. Dougherty, J. Gildea, A. Korban and A. Kaya, Binary generator matrices for extremal binary self-dual codes of length $68$, Available from: http://abidinkaya.wixsite.com/math/adrian1. Google Scholar [11] P. Gaborit, V. Pless, P. Sole and O. Atkin, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4$", Finite Fields Appl., 8 (2002), 171-183.  doi: 10.1006/ffta.2001.0333.  Google Scholar [12] J. Gildea, A. Kaya, R. Taylor and B. Yildiz, Constructions for self-dual codes induced from group rings, Finite Fields Appl., 51 (2018), 71-92.  doi: 10.1016/j.ffa.2018.01.002.  Google Scholar [13] T. Hurley, Group rings and rings of matrices, Int. J. Pure Appl. Math., 31 (2006), 319-335.   Google Scholar [14] A. Kaya and B. Yildiz, Various constructions for self-dual codes over rings and new binary self-dual codes, Discrete Math., 339 (2016), 460-469.  doi: 10.1016/j.disc.2015.09.010.  Google Scholar [15] S. Ling and P. Sole, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4+u \mathbb{F}_4$", European J. Combin., 22 (2001), 983-997.  doi: 10.1006/eujc.2001.0509.  Google Scholar [16] E. M. Rains, Shadow bounds for self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 44 (1998), 134-139.  doi: 10.1109/18.651000.  Google Scholar

show all references

##### References:
 [1] W. Bosma, J. Cannon and C. Playoust, The Magma algebra system Ⅰ: The user language, J. Symbolic Comput., 24 (1997), 235-265.  doi: 10.1006/jsco.1996.0125.  Google Scholar [2] J. H. Conway and N. J. A. Solane, A new upper bound on the minimal distance of self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 36 (1990), 1319-1333.  doi: 10.1109/18.59931.  Google Scholar [3] S. T. Dougherty, Algebraic Coding Theory Over Finite Commutative Rings, SpringerBriefs in Mathematics, Springer, Cham, 2017. doi: 10.1007/978-3-319-59806-2.  Google Scholar [4] S. T. Dougherty, P. Gaborit, M. Harada and P. Sole, Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$, IEEE Trans. Inform. Theory, 45 (1999), 32-45.  doi: 10.1109/18.746770.  Google Scholar [5] S. T. Dougherty, J. Gildea and A. Kaya, Quadruple bordered constructions of self-dual codes from group rings over Frobenius rings, Cryptogr. Commun., (2019), 1–20. doi: 10.1007/s12095-019-00380-8.  Google Scholar [6] S. T. Dougherty, J. Gildea, R. Taylor and A. Tylshchak, Group rings, $G$-codes and constructions of self-dual and formally self-dual codes, Des. Codes Cryptogr., 86 (2018), 2115-2138.  doi: 10.1007/s10623-017-0440-7.  Google Scholar [7] S. T. Dougherty, T. A. Gulliver and M. Harada, Extremal binary self dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 43 (1997), 2036-2047.  doi: 10.1109/18.641574.  Google Scholar [8] S. T. Dougherty, J.-L. Kim, H. Kulosman and H. Liu, Self-dual codes over commutative Frobenius rings, Finite Fields Appl., 16 (2010), 14-26.  doi: 10.1016/j.ffa.2009.11.004.  Google Scholar [9] S. T. Dougherty, J. Gildea, A. Korban, A. Kaya, A. Tylyshchak and B. Yildiz, Bordered constructions of self-dual codes from group rings and new extremal binary self-dual code, Finite Fields Appl., 57 (2019), 108-127.  doi: 10.1016/j.ffa.2019.02.004.  Google Scholar [10] S. T. Dougherty, J. Gildea, A. Korban and A. Kaya, Binary generator matrices for extremal binary self-dual codes of length $68$, Available from: http://abidinkaya.wixsite.com/math/adrian1. Google Scholar [11] P. Gaborit, V. Pless, P. Sole and O. Atkin, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4$", Finite Fields Appl., 8 (2002), 171-183.  doi: 10.1006/ffta.2001.0333.  Google Scholar [12] J. Gildea, A. Kaya, R. Taylor and B. Yildiz, Constructions for self-dual codes induced from group rings, Finite Fields Appl., 51 (2018), 71-92.  doi: 10.1016/j.ffa.2018.01.002.  Google Scholar [13] T. Hurley, Group rings and rings of matrices, Int. J. Pure Appl. Math., 31 (2006), 319-335.   Google Scholar [14] A. Kaya and B. Yildiz, Various constructions for self-dual codes over rings and new binary self-dual codes, Discrete Math., 339 (2016), 460-469.  doi: 10.1016/j.disc.2015.09.010.  Google Scholar [15] S. Ling and P. Sole, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4+u \mathbb{F}_4$", European J. Combin., 22 (2001), 983-997.  doi: 10.1006/eujc.2001.0509.  Google Scholar [16] E. M. Rains, Shadow bounds for self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 44 (1998), 134-139.  doi: 10.1109/18.651000.  Google Scholar
Theorem 3.1 over $\mathbb{F}_4$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(\omega,1)$ $(\omega+1,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(0,0)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega,0)$ $(0,\omega+1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_3$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$ $C_4$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(\omega,0)$ $(\omega+1,0)$ $(0,\omega)$ $(0,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^9 3^25$ $C_5$ $(0,1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(0,1)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega,0)$ $(1,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^73$ $C_6$ $(0,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(0,1)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(\omega+1,0)$ $(1,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^{11}3$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(\omega,1)$ $(\omega+1,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(0,0)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega,0)$ $(0,\omega+1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_3$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$ $C_4$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(\omega,0)$ $(\omega+1,0)$ $(0,\omega)$ $(0,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^9 3^25$ $C_5$ $(0,1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(0,1)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega,0)$ $(1,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^73$ $C_6$ $(0,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(0,1)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(\omega+1,0)$ $(1,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^{11}3$
The $\mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4$-lifts of $C_i$ and the $\beta$ values of the binary images
 code $r_{A_1}$ $r_{B_1}$ $r_{A_2}$ $r_{B_2}$ $r_{A_3}$ $r_{B_3}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $I_{1}$ $C_5$ $(z_4,a_3)$ $(b_1,c_2)$ $(z_3,a_1)$ $(b_2,b_1)$ $(b_1,z_3)$ $(a_1,b_2)$ $8$ $2^4$ $I_{2}$ $C_5$ $(z_3,a_1)$ $(b_3,c_1)$ $(z_2,a_3)$ $(b_4,b_3)$ $(b_3,z_2)$ $(a_3,b_4)$ $8$ $2^5$ $I_3$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_2,c_2)$ $(z_4,z_2)$ $(c_1,b_1)$ $(b_1,z_4)$ $(z_2,c_1)$ $12$ $2^4$ $I_4$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,c_3)$ $(z_2,z_4)$ $(c_1,b_2)$ $(b_2,z_2)$ $(z_4,c_1)$ $24$ $2^4$ $I_5$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_4,c_4)$ $(z_2,z_4)$ $(c_2,b_2)$ $(b_2,z_2)$ $(z_4,c_2)$ $24$ $2^5$ $I_6$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,c_3)$ $(z_4,z_2)$ $(c_2,b_2)$ $(b_2,z_4)$ $(z_2,c_2)$ $28$ $2^4$ $I_7$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_4,c_4)$ $(z_2,z_3)$ $(c_2,b_1)$ $(b_1,z_2)$ $(z_3,c_2)$ $32$ $2^5$ $I_8$ $C_2$ $(z_1,b_2)$ $(a_4,c_4)$ $(z_3,z_4)$ $(c_2,b_4)$ $(b_4,z_3)$ $(z_4,c_2)$ $32$ $2^6$ $I_{9}$ $C_5$ $(z_2,a_1)$ $(b_1,c_2)$ $(z_4,a_1)$ $(b_4,b_4)$ $(b_4,z_4)$ $(a_1,b_4)$ $40$ $2^5$
 code $r_{A_1}$ $r_{B_1}$ $r_{A_2}$ $r_{B_2}$ $r_{A_3}$ $r_{B_3}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $I_{1}$ $C_5$ $(z_4,a_3)$ $(b_1,c_2)$ $(z_3,a_1)$ $(b_2,b_1)$ $(b_1,z_3)$ $(a_1,b_2)$ $8$ $2^4$ $I_{2}$ $C_5$ $(z_3,a_1)$ $(b_3,c_1)$ $(z_2,a_3)$ $(b_4,b_3)$ $(b_3,z_2)$ $(a_3,b_4)$ $8$ $2^5$ $I_3$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_2,c_2)$ $(z_4,z_2)$ $(c_1,b_1)$ $(b_1,z_4)$ $(z_2,c_1)$ $12$ $2^4$ $I_4$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,c_3)$ $(z_2,z_4)$ $(c_1,b_2)$ $(b_2,z_2)$ $(z_4,c_1)$ $24$ $2^4$ $I_5$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_4,c_4)$ $(z_2,z_4)$ $(c_2,b_2)$ $(b_2,z_2)$ $(z_4,c_2)$ $24$ $2^5$ $I_6$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,c_3)$ $(z_4,z_2)$ $(c_2,b_2)$ $(b_2,z_4)$ $(z_2,c_2)$ $28$ $2^4$ $I_7$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_4,c_4)$ $(z_2,z_3)$ $(c_2,b_1)$ $(b_1,z_2)$ $(z_3,c_2)$ $32$ $2^5$ $I_8$ $C_2$ $(z_1,b_2)$ $(a_4,c_4)$ $(z_3,z_4)$ $(c_2,b_4)$ $(b_4,z_3)$ $(z_4,c_2)$ $32$ $2^6$ $I_{9}$ $C_5$ $(z_2,a_1)$ $(b_1,c_2)$ $(z_4,a_1)$ $(b_4,b_4)$ $(b_4,z_4)$ $(a_1,b_4)$ $40$ $2^5$
Theorem 3.2 over $\mathbb{F}_4$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(1,\omega)$ $(\omega+1,1)$ $(1,1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,1)$ $(1,0)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(\omega+1,1)$ $(\omega,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_3$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $[32,16,8]_{I}$ $2^{12}3 \cdot 7$ $C_4$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(0,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(\omega+1,0)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_5$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega,1)$ $(\omega,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$ $C_6$ $(0,1)$ $(1,0)$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^6$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(1,\omega)$ $(\omega+1,1)$ $(1,1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,1)$ $(1,0)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(\omega+1,1)$ $(\omega,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_3$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $[32,16,8]_{I}$ $2^{12}3 \cdot 7$ $C_4$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(0,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(\omega+1,0)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_5$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega,1)$ $(\omega,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$ $C_6$ $(0,1)$ $(1,0)$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^6$
The $\mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4$-lifts of $C_i$ and the $\beta$ values of the binary images
 code $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_B{_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $J_1$ $C_6$ $(z_2,a_1)$ $(a_1,z_2)$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_2)$ $(a_2,b_1)$ $(z_4,b_1)$ $0$ $2^6$ $J_2$ $C_6$ $(z_4,a_3)$ $(a_3,z_4)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $4$ $2^5$ $J_3$ $C_6$ $(z_3,a_1)$ $(a_1,z_3)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $12$ $2^5$ $J_4$ $C_2$ $(z_4,a_1)$ $(a_1,z_4)$ $(a_3,b_4)$ $(a_3,c_2)$ $(c_2,a_3)$ $(b_4,a_3)$ $24$ $2^5$ $J_5$ $C_3$ $(b_1,c_2)$ $(c_2,b_1)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $28$ $2^5$ $J_6$ $C_3$ $(b_2,c_1)$ $(c_1,b_2)$ $(b_1,z_2)$ $(b_1,a_3)$ $(a_3,b_1)$ $(z_2,b_1)$ $44$ $2^5$ $J_7$ $C_3$ $(b_2,c_4)$ $(c_4,b_2)$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_2)$ $(a_2,b_1)$ $(z_4,b_1)$ $48$ $2^5$ $J_8$ $C_3$ $(b_1,c_3)$ $(c_3,b_1)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $52$ $2^5$
 code $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_B{_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $J_1$ $C_6$ $(z_2,a_1)$ $(a_1,z_2)$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_2)$ $(a_2,b_1)$ $(z_4,b_1)$ $0$ $2^6$ $J_2$ $C_6$ $(z_4,a_3)$ $(a_3,z_4)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $4$ $2^5$ $J_3$ $C_6$ $(z_3,a_1)$ $(a_1,z_3)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $12$ $2^5$ $J_4$ $C_2$ $(z_4,a_1)$ $(a_1,z_4)$ $(a_3,b_4)$ $(a_3,c_2)$ $(c_2,a_3)$ $(b_4,a_3)$ $24$ $2^5$ $J_5$ $C_3$ $(b_1,c_2)$ $(c_2,b_1)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $28$ $2^5$ $J_6$ $C_3$ $(b_2,c_1)$ $(c_1,b_2)$ $(b_1,z_2)$ $(b_1,a_3)$ $(a_3,b_1)$ $(z_2,b_1)$ $44$ $2^5$ $J_7$ $C_3$ $(b_2,c_4)$ $(c_4,b_2)$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_2)$ $(a_2,b_1)$ $(z_4,b_1)$ $48$ $2^5$ $J_8$ $C_3$ $(b_1,c_3)$ $(c_3,b_1)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $52$ $2^5$
Theorem 3.3 over $\mathbb{F}_4$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $\psi_{ \mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,0)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(\omega,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_3$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $\psi_{ \mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,0)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(\omega,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_3$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$
Theorem 3.4 over $\mathbb{F}_4$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $\psi_{ \mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(0,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_3$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $\psi_{ \mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(0,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_3$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$
Theorem 3.5 over $\mathbb{F}_4$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $r_{A_{4}}$ $r_{B_{4}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(\omega+1,1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega+1,1)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,0)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(0,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(0,\omega)$ $(1,0)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^53 \cdot 5 \cdot 31$ $C_3$ $(0,1)$ $(1,\omega)$ $(1,0)$ $(\omega+1,1)$ $(1,1)$ $(\omega+1,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_4$ $(0,\omega)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega+1,1)$ $(0,\omega+1)$ $(\omega,\omega)$ $[32,16,8]_{I}$ $2^{12}3 \cdot 7$ $C_5$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,0)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,0)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_6$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(1,1)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$ $C_7$ $(0,0)$ $(1,\omega)$ $(1,0)$ $(\omega,1)$ $(1,1)$ $(\omega,0)$ $(0,\omega)$ $(1,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^6$ $C_{8}$ $(0,0)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(\omega,\omega)$ $(0,\omega)$ $(1,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^33$ $C_{9}$ $(0,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^5$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $r_{A_{4}}$ $r_{B_{4}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(\omega+1,1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega+1,1)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,0)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(0,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(0,\omega)$ $(1,0)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^53 \cdot 5 \cdot 31$ $C_3$ $(0,1)$ $(1,\omega)$ $(1,0)$ $(\omega+1,1)$ $(1,1)$ $(\omega+1,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_4$ $(0,\omega)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega+1,1)$ $(0,\omega+1)$ $(\omega,\omega)$ $[32,16,8]_{I}$ $2^{12}3 \cdot 7$ $C_5$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,0)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,0)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_6$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(1,1)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$ $C_7$ $(0,0)$ $(1,\omega)$ $(1,0)$ $(\omega,1)$ $(1,1)$ $(\omega,0)$ $(0,\omega)$ $(1,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^6$ $C_{8}$ $(0,0)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(\omega,\omega)$ $(0,\omega)$ $(1,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^33$ $C_{9}$ $(0,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^5$
The $\mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4$-lifts of $C_i$ and the $\beta$ values of the binary images
 code $r_{A_1}$ $r_{B_1}$ $r_{A_2}$ $r_{B_2}$ $r_{A_3}$ $r_{B_3}$ $r_{A_4}$ $r_{B_4}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $K_{1}$ $C_2$ $(z_1,z_2)$ $(a_3,b_1)$ $(z_2,b_1)$ $(c_1,c_4)$ $(z_2,c_4)$ $(c_1,b_1)$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,z_2)$ $0$ $2^5$ $K_{2}$ $C_3$ $(z_1,a_1)$ $(a_3,b_1)$ $(a_3,z_2)$ $(c_2,a_2)$ $(a_3,a_2)$ $(c_2,z_2)$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,a_1)$ $0$ $2^4$ $K_{3}$ $C_{9}$ $(z_1,a_1)$ $(a_3,b_2)$ $(a_1,b_1)$ $(c_2,c_4)$ $(a_1,c_4)$ $(c_2,b_1)$ $(z_1,b_2)$ $(a_3,a_1)$ $0$ $2^5$ $K_{4}$ $C_7$ $(z_1,z_1)$ $(a_1,b_2)$ $(a_1,z_3)$ $(b_2,a_4)$ $(a_1,a_4)$ $(b_2,z_3)$ $(z_1,b_2)$ $(a_1,z_1)$ $0$ $2^4$ $K_{5}$ $C_4$ $(z_2,b_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_2,a_2)$ $(c_2,b_4)$ $(b_2,b_4)$ $(c_2a_2)$ $(z_2,c_2)$ $(b_1,b_2)$ $0$ $2^6$ $K_{6}$ $C_4$ $(z_2,b_1)$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,a_1)$ $(c_1,b_2)$ $(b_2,b_2)$ $(c_1,a_1)$ $(z_2,c_4)$ $(b_2,b_1)$ $4$ $2^4$ $K_{7}$ $C_7$ $(z_4,z_1)$ $(a_3,b_2)$ $(a_3,z_4)$ $(b_4,a_4)$ $(a_3,a_4)$ $(b_4,z_4)$ $(z_4,b_2)$ $(a_3,z_1)$ $4$ $2^5$ $K_8$ $C_1$ $(z_1,z_2)$ $(z_3,b_1)$ $(c_1,a_1)$ $(c_4,b_4)$ $(c_1,b_4)$ $(c_4,a_1)$ $(z_1,b_1)$ $(z_3,z_2)$ $8$ $2^5$ $K_{9}$ $C_1$ $(z_2,z_4)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_3)$ $(c_2,b_4)$ $(c_1,b_4)$ $(c_2,a_3)$ $(z_2,b_2)$ $(z_3,z_4)$ $8$ $2^4$ $K_{10}$ $C_2$ $(z_1,z_2)$ $(z_3,b_1)$ $(z_2,b_1)$ $(c_4,c_3)$ $(z_2,c_3)$ $(c_4,b_1)$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,z_2)$ $12$ $2^4$ $K_{11}$ $C_4$ $(z_4,b_1)$ $(b_1,c_4)$ $(b_1,a_3)$ $(c_4,b_4)$ $(b_1,b_4)$ $(c_4,a_3)$ $(z_4,c_4)$ $(b_1,b_1)$ $12$ $2^5$ $K_{12}$ $C_1$ $(z_1,z_1)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_3)$ $(c_4,b_4)$ $(c_1,b_4)$ $(c_4,a_3)$ $(z_1,b_2)$ $(z_3,z_1)$ $16$ $2^6$ $K_{13}$ $C_1$ $(z_1,z_3)$ $(z_4,b_2)$ $(c_1,a_1)$ $(c_2,b_2)$ $(c_1,b_2)$ $(c_2,a_1)$ $(z_1,b_2)$ $(z_4,z_3)$ $16$ $2^4$ $K_{14}$ $C_1$ $(z_1,z_3)$ $(z_3,b_2)$ $(c_2,a_1)$ $(c_3,b_3)$ $(c_2,b_3)$ $(c_3,a_1)$ $(z_1,b_2)$ $(z_3,z_3)$ $16$ $2^5$ $K_{15}$ $C_2$ $(z_2,z_2)$ $(a_1,b_1)$ $(z_3,b_1)$ $(c_2,c_4)$ $(z_3,z_4)$ $(c_2,b_1)$ $(z_2,b_1)$ $(a_1,z_2)$ $20$ $2^4$ $K_{16}$ $C_3$ $(z_2,a_1)$ $(a_3,b_2)$ $(a_3,z_2)$ $(c_4,a_4)$ $(a_3,a_4)$ $(c_4,z_2)$ $(z_2,b_2)$ $(a_3,a_1)$ $20$ $2^5$ $K_{17}$ $C_1$ $(z_1,z_2)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_3)$ $(c_4,b_2)$ $(c_1,b_2)$ $(c_4,a_3)$ $(z_1,b_2)$ $(z_3,z_2)$ $24$ $2^5$ $K_{18}$ $C_1$ $(z_2,z_2)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_1)$ $(c_2,b_1)$ $(c_1,b_1)$ $(c_2,a_1)$ $(z_2,b_2)$ $(z_3,z_2)$ $24$ $2^4$ $K_{19}$ $C_2$ $(z_2,z_1)$ $(a_1,b_2)$ $(z_4,b_2)$ $(c_1,c_3)$ $(z_4,c_3)$ $(c_1,b_2)$ $(z_2,b_2)$ $(a_1,z_1)$ $28$ $2^4$ $K_{20}$ $C_4$ $(z_1,b_1)$ $(b_2,c_2)$ $(b_1,a_4)$ $(c_2,b_2)$ $(b_1,b_2)$ $(c_2,a_4)$ $(z_1,c_2)$ $(b_2,b_1)$ $28$ $2^5$ $K_{21}$ $C_1$ $(z_1,z_2)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_1)$ $(c_4,b_3)$ $(z_1,b_3)$ $(a_4,a_1)$ $(z_1,b_2)$ $(z_3,z_2)$ $32$ $2^5$ $K_{22}$ $C_4$ $(z_4,b_2)$ $(b_1,c_1)$ $(b_2,a_1)$ $(c_3,b_1)$ $(b_2,b_1)$ $(c_3,a_1)$ $(z_4,c_1)$ $(b_1,b_2)$ $32$ $2^4$ $K_{23}$ $C_7$ $(z_1,z_1)$ $(a_3,b_2)$ $(a_1,z_4)$ $(b_1,a_3)$ $(a_1,a_3)$ $(b_1,z_4)$ $(z_1,b_2)$ $(a_3,z_1)$ $36$ $2^4$ $K_{24}$ $C_4$ $(z_3,b_1)$ $(b_2,c_4)$ $(b_1,a_4)$ $(c_4,b_3)$ $(b_1,b_3)$ $(c_4,a_4)$ $(z_3,c_4)$ $(b_2,b_1)$ $36$ $2^5$ $K_{25}$ $C_5$ $(z_1,z_4)$ $(z_4,b_2)$ $(a_1,z_2)$ $(a_2,c_1)$ $(a_1,c_1)$ $(a_2,z_2)$ $(z_1,b_2)$ $(z_4,z_4)$ $40$ $2^5$ $K_{26}$ $C_2$ $(z_4,z_1)$ $(a_1,b_1)$ $(z_1,b_2)$ $(c_2,c_1)$ $(z_1,c_1)$ $(c_2,b_2)$ $(z_4,b_1)$ $(a_1,z_1)$ $44$ $2^43$ $K_{27}$ $C_4$ $(z_2,b_2)$ $(b_1,c_1)$ $(b_2,a_3)$ $(c_1,b_1)$ $(b_2,b_1)$ $(c_1,a_3)$ $(z_2,c_1)$ $(b_1,b_2)$ $44$ $2^5$ $K_{28}$ $C_4$ $(z_4,b_2)$ $(b_1,c_4)$ $(b_2,a_2)$ $(c_4,b_1)$ $(b_2,b_1)$ $(c_4,a_2)$ $(z_4,c_4)$ $(b_1,b_2)$ $48$ $2^5$ $K_{29}$ $C_4$ $(z_1,b_1)$ $(b_2,c_3)$ $(b_1,a_4)$ $(c_3,b_2)$ $(b_1,b_2)$ $(c_3,a_4)$ $(z_1,c_3)$ $(b_2,b_1)$ $52$ $2^5$
 code $r_{A_1}$ $r_{B_1}$ $r_{A_2}$ $r_{B_2}$ $r_{A_3}$ $r_{B_3}$ $r_{A_4}$ $r_{B_4}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $K_{1}$ $C_2$ $(z_1,z_2)$ $(a_3,b_1)$ $(z_2,b_1)$ $(c_1,c_4)$ $(z_2,c_4)$ $(c_1,b_1)$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,z_2)$ $0$ $2^5$ $K_{2}$ $C_3$ $(z_1,a_1)$ $(a_3,b_1)$ $(a_3,z_2)$ $(c_2,a_2)$ $(a_3,a_2)$ $(c_2,z_2)$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,a_1)$ $0$ $2^4$ $K_{3}$ $C_{9}$ $(z_1,a_1)$ $(a_3,b_2)$ $(a_1,b_1)$ $(c_2,c_4)$ $(a_1,c_4)$ $(c_2,b_1)$ $(z_1,b_2)$ $(a_3,a_1)$ $0$ $2^5$ $K_{4}$ $C_7$ $(z_1,z_1)$ $(a_1,b_2)$ $(a_1,z_3)$ $(b_2,a_4)$ $(a_1,a_4)$ $(b_2,z_3)$ $(z_1,b_2)$ $(a_1,z_1)$ $0$ $2^4$ $K_{5}$ $C_4$ $(z_2,b_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_2,a_2)$ $(c_2,b_4)$ $(b_2,b_4)$ $(c_2a_2)$ $(z_2,c_2)$ $(b_1,b_2)$ $0$ $2^6$ $K_{6}$ $C_4$ $(z_2,b_1)$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,a_1)$ $(c_1,b_2)$ $(b_2,b_2)$ $(c_1,a_1)$ $(z_2,c_4)$ $(b_2,b_1)$ $4$ $2^4$ $K_{7}$ $C_7$ $(z_4,z_1)$ $(a_3,b_2)$ $(a_3,z_4)$ $(b_4,a_4)$ $(a_3,a_4)$ $(b_4,z_4)$ $(z_4,b_2)$ $(a_3,z_1)$ $4$ $2^5$ $K_8$ $C_1$ $(z_1,z_2)$ $(z_3,b_1)$ $(c_1,a_1)$ $(c_4,b_4)$ $(c_1,b_4)$ $(c_4,a_1)$ $(z_1,b_1)$ $(z_3,z_2)$ $8$ $2^5$ $K_{9}$ $C_1$ $(z_2,z_4)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_3)$ $(c_2,b_4)$ $(c_1,b_4)$ $(c_2,a_3)$ $(z_2,b_2)$ $(z_3,z_4)$ $8$ $2^4$ $K_{10}$ $C_2$ $(z_1,z_2)$ $(z_3,b_1)$ $(z_2,b_1)$ $(c_4,c_3)$ $(z_2,c_3)$ $(c_4,b_1)$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,z_2)$ $12$ $2^4$ $K_{11}$ $C_4$ $(z_4,b_1)$ $(b_1,c_4)$ $(b_1,a_3)$ $(c_4,b_4)$ $(b_1,b_4)$ $(c_4,a_3)$ $(z_4,c_4)$ $(b_1,b_1)$ $12$ $2^5$ $K_{12}$ $C_1$ $(z_1,z_1)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_3)$ $(c_4,b_4)$ $(c_1,b_4)$ $(c_4,a_3)$ $(z_1,b_2)$ $(z_3,z_1)$ $16$ $2^6$ $K_{13}$ $C_1$ $(z_1,z_3)$ $(z_4,b_2)$ $(c_1,a_1)$ $(c_2,b_2)$ $(c_1,b_2)$ $(c_2,a_1)$ $(z_1,b_2)$ $(z_4,z_3)$ $16$ $2^4$ $K_{14}$ $C_1$ $(z_1,z_3)$ $(z_3,b_2)$ $(c_2,a_1)$ $(c_3,b_3)$ $(c_2,b_3)$ $(c_3,a_1)$ $(z_1,b_2)$ $(z_3,z_3)$ $16$ $2^5$ $K_{15}$ $C_2$ $(z_2,z_2)$ $(a_1,b_1)$ $(z_3,b_1)$ $(c_2,c_4)$ $(z_3,z_4)$ $(c_2,b_1)$ $(z_2,b_1)$ $(a_1,z_2)$ $20$ $2^4$ $K_{16}$ $C_3$ $(z_2,a_1)$ $(a_3,b_2)$ $(a_3,z_2)$ $(c_4,a_4)$ $(a_3,a_4)$ $(c_4,z_2)$ $(z_2,b_2)$ $(a_3,a_1)$ $20$ $2^5$ $K_{17}$ $C_1$ $(z_1,z_2)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_3)$ $(c_4,b_2)$ $(c_1,b_2)$ $(c_4,a_3)$ $(z_1,b_2)$ $(z_3,z_2)$ $24$ $2^5$ $K_{18}$ $C_1$ $(z_2,z_2)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_1)$ $(c_2,b_1)$ $(c_1,b_1)$ $(c_2,a_1)$ $(z_2,b_2)$ $(z_3,z_2)$ $24$ $2^4$ $K_{19}$ $C_2$ $(z_2,z_1)$ $(a_1,b_2)$ $(z_4,b_2)$ $(c_1,c_3)$ $(z_4,c_3)$ $(c_1,b_2)$ $(z_2,b_2)$ $(a_1,z_1)$ $28$ $2^4$ $K_{20}$ $C_4$ $(z_1,b_1)$ $(b_2,c_2)$ $(b_1,a_4)$ $(c_2,b_2)$ $(b_1,b_2)$ $(c_2,a_4)$ $(z_1,c_2)$ $(b_2,b_1)$ $28$ $2^5$ $K_{21}$ $C_1$ $(z_1,z_2)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_1)$ $(c_4,b_3)$ $(z_1,b_3)$ $(a_4,a_1)$ $(z_1,b_2)$ $(z_3,z_2)$ $32$ $2^5$ $K_{22}$ $C_4$ $(z_4,b_2)$ $(b_1,c_1)$ $(b_2,a_1)$ $(c_3,b_1)$ $(b_2,b_1)$ $(c_3,a_1)$ $(z_4,c_1)$ $(b_1,b_2)$ $32$ $2^4$ $K_{23}$ $C_7$ $(z_1,z_1)$ $(a_3,b_2)$ $(a_1,z_4)$ $(b_1,a_3)$ $(a_1,a_3)$ $(b_1,z_4)$ $(z_1,b_2)$ $(a_3,z_1)$ $36$ $2^4$ $K_{24}$ $C_4$ $(z_3,b_1)$ $(b_2,c_4)$ $(b_1,a_4)$ $(c_4,b_3)$ $(b_1,b_3)$ $(c_4,a_4)$ $(z_3,c_4)$ $(b_2,b_1)$ $36$ $2^5$ $K_{25}$ $C_5$ $(z_1,z_4)$ $(z_4,b_2)$ $(a_1,z_2)$ $(a_2,c_1)$ $(a_1,c_1)$ $(a_2,z_2)$ $(z_1,b_2)$ $(z_4,z_4)$ $40$ $2^5$ $K_{26}$ $C_2$ $(z_4,z_1)$ $(a_1,b_1)$ $(z_1,b_2)$ $(c_2,c_1)$ $(z_1,c_1)$ $(c_2,b_2)$ $(z_4,b_1)$ $(a_1,z_1)$ $44$ $2^43$ $K_{27}$ $C_4$ $(z_2,b_2)$ $(b_1,c_1)$ $(b_2,a_3)$ $(c_1,b_1)$ $(b_2,b_1)$ $(c_1,a_3)$ $(z_2,c_1)$ $(b_1,b_2)$ $44$ $2^5$ $K_{28}$ $C_4$ $(z_4,b_2)$ $(b_1,c_4)$ $(b_2,a_2)$ $(c_4,b_1)$ $(b_2,b_1)$ $(c_4,a_2)$ $(z_4,c_4)$ $(b_1,b_2)$ $48$ $2^5$ $K_{29}$ $C_4$ $(z_1,b_1)$ $(b_2,c_3)$ $(b_1,a_4)$ $(c_3,b_2)$ $(b_1,b_2)$ $(c_3,a_4)$ $(z_1,c_3)$ $(b_2,b_1)$ $52$ $2^5$
Theorem 3.6 over $\mathbb{F}_4$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $r_{A_{4}}$ $r_{B_{4}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_2$ $(0,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega,1)$ $(1,1)$ $(\omega,1)$ $(1,1)$ $(0,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_3$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,1)$ $(\omega,0)$ $[32,16,8]_{I}$ $2^{12}3 \cdot 7$ $C_4$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(1,1)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$ $C_5$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(\omega+1,0)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(\omega+1,0)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_6$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $(\omega,1)$ $(\omega,0)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^6$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $r_{A_{4}}$ $r_{B_{4}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_2$ $(0,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega,1)$ $(1,1)$ $(\omega,1)$ $(1,1)$ $(0,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_3$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,1)$ $(\omega,0)$ $[32,16,8]_{I}$ $2^{12}3 \cdot 7$ $C_4$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(1,1)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$ $C_5$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(\omega+1,0)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(\omega+1,0)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_6$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $(\omega,1)$ $(\omega,0)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^6$
The $\mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4$-lifts of $C_i$ and the $\beta$ values of the binary images
 code $r_{A_1}$ $r_{B_1}$ $r_{A_2}$ $r_{B_2}$ $r_{A_3}$ $r_{B_3}$ $r_{A_4}$ $r_{B_4}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $L_{1}$ $C_6$ $(z_2,a_1)$ $(z_2,a_1)$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_2)$ $(b_1,a_2)$ $(b_1,z_4)$ $(z_2,a_1)$ $(z_2,a_1)$ $0$ $2^6$ $L_{2}$ $C_6$ $(z_4,a_3)$ $(z_4,a_3)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,z_1)$ $(z_4,a_3)$ $(z_4,a_3)$ $4$ $2^5$ $L_{3}$ $C_4$ $(z_2,z_4)$ $(z_2,b_2)$ $(a_1,a_2)$ $(a_1,b_1)$ $(a_1,b_1)$ $(a_1,a_2)$ $(z_2,b_2)$ $(z_2,z_4)$ $8$ $2^5$ $L_{4}$ $C_6$ $(z_3,a_1)$ $(z_3,a_1)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,z_1)$ $(z_3,a_1)$ $(z_3,a_1)$ $12$ $2^5$ $L_{5}$ $C_5$ $(z_2,z_3)$ $(z_2,b_1)$ $(c_1,z_4)$ $(c_1,c_3)$ $(c_1,c_3)$ $(c_1,z_4)$ $(z_2,b_1)$ $(z_2,z_3)$ $16$ $2^4$ $L_6$ $C_3$ $(b_2,z_3)$ $(b_2,a_2)$ $(b_1,c_1)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_1)$ $(b_2,a_2)$ $(b_2,z_3)$ $20$ $2^4$ $L_7$ $C_3$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_1)$ $(b_1,c_1)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_1)$ $(b_2,a_1)$ $(b_2,z_1)$ $24$ $2^4$ $L_{8}$ $C_4$ $(z_1,z_3)$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,a_4)$ $(a_3,b_2)$ $(a_3,b_2)$ $(a_3,a_4)$ $(z_1,b_1)$ $(z_1,z_3)$ $24$ $2^5$ $L_9$ $C_3$ $(b_1,z_2)$ $(b_1,a_1)$ $(b_2,c_2)$ $(b_2,c_3)$ $(b_2,c_3)$ $(b_2,c_2)$ $(b_1,a_1)$ $(b_1,z_2)$ $28$ $2^4$ $L_{10}$ $C_3$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,z_1)$ $28$ $2^5$ $L_{11}$ $C_3$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_1)$ $(b_2,c_1)$ $(b_2,c_3)$ $(b_2,c_3)$ $(b_2,c_1)$ $(b_1,a_1)$ $(b_1,z_4)$ $32$ $2^4$ $L_{12}$ $C_4$ $(z_3,z_1)$ $(z_3,b_1)$ $(a_3,a_4)$ $(a_3,b_1)$ $(a_3,b_1)$ $(a_3,a_4)$ $(z_3,b_1)$ $(z_3,z_1)$ $40$ $2^5$ $L_{13}$ $C_3$ $(b_1,z_2)$ $(b_1,a_3)$ $(b_2,c_1)$ $(b_2,c_1)$ $(b_2,c_1)$ $(b_2,c_1)$ $(b_1,a_3)$ $(b_1,z_2)$ $44$ $2^5$ $L_{14}$ $C_3$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_2)$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,c_4)$ $(b_1,a_2)$ $(b_1,z_4)$ $48$ $2^4$ $L_{15}$ $C_3$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,z_1)$ $52$ $2^5$
 code $r_{A_1}$ $r_{B_1}$ $r_{A_2}$ $r_{B_2}$ $r_{A_3}$ $r_{B_3}$ $r_{A_4}$ $r_{B_4}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $L_{1}$ $C_6$ $(z_2,a_1)$ $(z_2,a_1)$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_2)$ $(b_1,a_2)$ $(b_1,z_4)$ $(z_2,a_1)$ $(z_2,a_1)$ $0$ $2^6$ $L_{2}$ $C_6$ $(z_4,a_3)$ $(z_4,a_3)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,z_1)$ $(z_4,a_3)$ $(z_4,a_3)$ $4$ $2^5$ $L_{3}$ $C_4$ $(z_2,z_4)$ $(z_2,b_2)$ $(a_1,a_2)$ $(a_1,b_1)$ $(a_1,b_1)$ $(a_1,a_2)$ $(z_2,b_2)$ $(z_2,z_4)$ $8$ $2^5$ $L_{4}$ $C_6$ $(z_3,a_1)$ $(z_3,a_1)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,z_1)$ $(z_3,a_1)$ $(z_3,a_1)$ $12$ $2^5$ $L_{5}$ $C_5$ $(z_2,z_3)$ $(z_2,b_1)$ $(c_1,z_4)$ $(c_1,c_3)$ $(c_1,c_3)$ $(c_1,z_4)$ $(z_2,b_1)$ $(z_2,z_3)$ $16$ $2^4$ $L_6$ $C_3$ $(b_2,z_3)$ $(b_2,a_2)$ $(b_1,c_1)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_1)$ $(b_2,a_2)$ $(b_2,z_3)$ $20$ $2^4$ $L_7$ $C_3$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_1)$ $(b_1,c_1)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_1)$ $(b_2,a_1)$ $(b_2,z_1)$ $24$ $2^4$ $L_{8}$ $C_4$ $(z_1,z_3)$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,a_4)$ $(a_3,b_2)$ $(a_3,b_2)$ $(a_3,a_4)$ $(z_1,b_1)$ $(z_1,z_3)$ $24$ $2^5$ $L_9$ $C_3$ $(b_1,z_2)$ $(b_1,a_1)$ $(b_2,c_2)$ $(b_2,c_3)$ $(b_2,c_3)$ $(b_2,c_2)$ $(b_1,a_1)$ $(b_1,z_2)$ $28$ $2^4$ $L_{10}$ $C_3$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,z_1)$ $28$ $2^5$ $L_{11}$ $C_3$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_1)$ $(b_2,c_1)$ $(b_2,c_3)$ $(b_2,c_3)$ $(b_2,c_1)$ $(b_1,a_1)$ $(b_1,z_4)$ $32$ $2^4$ $L_{12}$ $C_4$ $(z_3,z_1)$ $(z_3,b_1)$ $(a_3,a_4)$ $(a_3,b_1)$ $(a_3,b_1)$ $(a_3,a_4)$ $(z_3,b_1)$ $(z_3,z_1)$ $40$ $2^5$ $L_{13}$ $C_3$ $(b_1,z_2)$ $(b_1,a_3)$ $(b_2,c_1)$ $(b_2,c_1)$ $(b_2,c_1)$ $(b_2,c_1)$ $(b_1,a_3)$ $(b_1,z_2)$ $44$ $2^5$ $L_{14}$ $C_3$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_2)$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,c_4)$ $(b_1,a_2)$ $(b_1,z_4)$ $48$ $2^4$ $L_{15}$ $C_3$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,z_1)$ $52$ $2^5$
Theorem 3.7 over $\mathbb{F}_4$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(1,1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(1,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,0)$ $(\omega,\omega+1)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_3$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $(0,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(1,1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(1,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,0)$ $(\omega,\omega+1)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_3$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $(0,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$
Theorem 3.8 over $\mathbb{F}_4$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_2$ $(\omega, \omega+1)$ $(\omega, \omega+1)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $[32,16,8]_{I}$ $2^{12}3 \cdot 7$ $C_3$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_4$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^6$ $C_5$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(0,\omega)$ $(0,\omega+1)$ $(0,\omega+1)$ $(0,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$
 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_2$ $(\omega, \omega+1)$ $(\omega, \omega+1)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $[32,16,8]_{I}$ $2^{12}3 \cdot 7$ $C_3$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_4$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^6$ $C_5$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(0,\omega)$ $(0,\omega+1)$ $(0,\omega+1)$ $(0,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$
The $\mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4$-lifts of $C_i$ and the $\beta$ values of the binary images
 code $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $M_1$ $C_2$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(z_2,b_1)$ $(a_2,b_4)$ $(a_2,b_4)$ $(z_2,b_1)$ $0$ $2^5$ $M_{2}$ $C_2$ $(b_2,c_2)$ $(b_2,c_2)$ $(z_2,b_1)$ $(a_2,b_4)$ $(a_2,b_4)$ $(z_2,b_1)$ $0$ $2^6$ $M_{3}$ $C_3$ $(b_1,c_1)$ $(b_1,c_1)$ $(a_1,b_2)$ $(a_1,c_4)$ $(a_1,c_4)$ $(a_1,b_2)$ $4$ $2^5$ $M_4$ $C_2$ $(b_1,c_4)$ $(b_1,c_4)$ $(z_4,b_1)$ $(a_3,b_4)$ $(a_3,b_4)$ $(z_4,b_1)$ $12$ $2^5$ $M_{5}$ $C_3$ $(b_2,c_2)$ $(b_2,c_2)$ $(a_1,b_3)$ $(a_2,c_4)$ $(a_2,c_4)$ $(a_1,b_3)$ $16$ $2^5$ $M_6$ $C_1$ $(z_2,a_3)$ $(z_2,a_3)$ $(a_1,b_2)$ $(a_4,c_1)$ $(a_4,c_1)$ $(a_1,b_2)$ $20$ $2^5$ $M_7$ $C_1$ $(z_2,a_3)$ $(z_2,a_3)$ $(a_1,b_3)$ $(a_3,c_4)$ $(a_3,c_4)$ $(a_1,b_3)$ $24$ $2^5$ $M_8$ $C_2$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(z_1,b_2)$ $(a_4,b_2)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $28$ $2^5$ $M_{9}$ $C_3$ $(b_1,c_1)$ $(b_1,c_1)$ $(a_1,b_2)$ $(a_2,c_3)$ $(a_2,c_3)$ $(a_1,b_2)$ $32$ $2^6$ $M_{10}$ $C_2$ $(b_1,c_4)$ $(b_1,c_4)$ $(z_3,b_2)$ $(a_4,b_3)$ $(a_4,b_3)$ $(z_3,b_2)$ $36$ $2^5$ $M_{11}$ $C_2$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(z_4,b_1)$ $(a_1,b_2)$ $(a_1,b_2)$ $(z_4,b_1)$ $44$ $2^5$ $M_{12}$ $C_2$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,c_4)$ $(z_4,b_1)$ $(a_2,b_1)$ $(a_2,b_1)$ $(z_4,b_1)$ $48$ $2^5$ $M_{13}$ $C_2$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(z_1,b_2)$ $(a_4,b_2)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $52$ $2^5$
 code $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $M_1$ $C_2$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(z_2,b_1)$ $(a_2,b_4)$ $(a_2,b_4)$ $(z_2,b_1)$ $0$ $2^5$ $M_{2}$ $C_2$ $(b_2,c_2)$ $(b_2,c_2)$ $(z_2,b_1)$ $(a_2,b_4)$ $(a_2,b_4)$ $(z_2,b_1)$ $0$ $2^6$ $M_{3}$ $C_3$ $(b_1,c_1)$ $(b_1,c_1)$ $(a_1,b_2)$ $(a_1,c_4)$ $(a_1,c_4)$ $(a_1,b_2)$ $4$ $2^5$ $M_4$ $C_2$ $(b_1,c_4)$ $(b_1,c_4)$ $(z_4,b_1)$ $(a_3,b_4)$ $(a_3,b_4)$ $(z_4,b_1)$ $12$ $2^5$ $M_{5}$ $C_3$ $(b_2,c_2)$ $(b_2,c_2)$ $(a_1,b_3)$ $(a_2,c_4)$ $(a_2,c_4)$ $(a_1,b_3)$ $16$ $2^5$ $M_6$ $C_1$ $(z_2,a_3)$ $(z_2,a_3)$ $(a_1,b_2)$ $(a_4,c_1)$ $(a_4,c_1)$ $(a_1,b_2)$ $20$ $2^5$ $M_7$ $C_1$ $(z_2,a_3)$ $(z_2,a_3)$ $(a_1,b_3)$ $(a_3,c_4)$ $(a_3,c_4)$ $(a_1,b_3)$ $24$ $2^5$ $M_8$ $C_2$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(z_1,b_2)$ $(a_4,b_2)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $28$ $2^5$ $M_{9}$ $C_3$ $(b_1,c_1)$ $(b_1,c_1)$ $(a_1,b_2)$ $(a_2,c_3)$ $(a_2,c_3)$ $(a_1,b_2)$ $32$ $2^6$ $M_{10}$ $C_2$ $(b_1,c_4)$ $(b_1,c_4)$ $(z_3,b_2)$ $(a_4,b_3)$ $(a_4,b_3)$ $(z_3,b_2)$ $36$ $2^5$ $M_{11}$ $C_2$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(z_4,b_1)$ $(a_1,b_2)$ $(a_1,b_2)$ $(z_4,b_1)$ $44$ $2^5$ $M_{12}$ $C_2$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,c_4)$ $(z_4,b_1)$ $(a_2,b_1)$ $(a_2,b_1)$ $(z_4,b_1)$ $48$ $2^5$ $M_{13}$ $C_2$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(z_1,b_2)$ $(a_4,b_2)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $52$ $2^5$
New codes of length 68 from Theorem 5.1
 $D$ $C$ $(x_{17},x_{18},\dots ,x_{32})$ $c$ $\gamma$ $\beta \ \text{in}\ W_{68,2}$ $C_{68,1}$ $I_{2}$ $(u,0,0,3,u,1,3,u,3,3,1,1,3,0,1,0)$ $u+1$ $0$ $38$ $C_{68,2}$ $K_{3}$ $(3,1,1,3,u,u,0,u,0,0,0,3,1,1,1,3)$ $1$ $1$ $38$ $C_{68,3}$ $K_{3}$ $(3,3,1,1,0,u,0,u,0,u,0,3,1,1,3,3)$ $1$ $1$ $46$ $C_{68,4}$ $K_{2}$ $(u,1,u,u,1,3,3,3,u,1,1,u,u,0,3,3)$ $u+1$ $2$ $67$ $C_{68,5}$ $K_{1}$ $(0,0,1,0,1,3,u,3,u,0,u,0,3,0,3,1)$ $u+1$ $3$ $77$ $C_{68,6}$ $K_{1}$ $(1,1,0,3,0,u,u,u,1,1,1,0,1,3,0,3)$ $u+1$ $3$ $78$ $C_{68,7}$ $I_{1}$ $(1,3,1,3,1,0,1,0,1,3,1,3,u,1,0,0)$ $1$ $3$ $81$ $C_{68,8}$ $K_{23}$ $(0,u,1,1,u,3,0,1,0,1,1,3,u,1,3,u)$ $u+1$ $3$ $179$ $C_{68,9}$ $K_{3}$ $(1,0,0,3,u,3,u,3,1,3,3,3,1,1,1,u)$ $1$ $4$ $92$ $C_{68,10}$ $K_{3}$ $(u,u,3,3,1,1,1,1,3,0,3,3,1,1,0,u)$ $1$ $4$ $94$ $C_{68,11}$ $K_{4}$ $(1,u,1,0,u,u,1,u,1,1,0,u,u,u,1,1)$ $1$ $4$ $119$
 $D$ $C$ $(x_{17},x_{18},\dots ,x_{32})$ $c$ $\gamma$ $\beta \ \text{in}\ W_{68,2}$ $C_{68,1}$ $I_{2}$ $(u,0,0,3,u,1,3,u,3,3,1,1,3,0,1,0)$ $u+1$ $0$ $38$ $C_{68,2}$ $K_{3}$ $(3,1,1,3,u,u,0,u,0,0,0,3,1,1,1,3)$ $1$ $1$ $38$ $C_{68,3}$ $K_{3}$ $(3,3,1,1,0,u,0,u,0,u,0,3,1,1,3,3)$ $1$ $1$ $46$ $C_{68,4}$ $K_{2}$ $(u,1,u,u,1,3,3,3,u,1,1,u,u,0,3,3)$ $u+1$ $2$ $67$ $C_{68,5}$ $K_{1}$ $(0,0,1,0,1,3,u,3,u,0,u,0,3,0,3,1)$ $u+1$ $3$ $77$ $C_{68,6}$ $K_{1}$ $(1,1,0,3,0,u,u,u,1,1,1,0,1,3,0,3)$ $u+1$ $3$ $78$ $C_{68,7}$ $I_{1}$ $(1,3,1,3,1,0,1,0,1,3,1,3,u,1,0,0)$ $1$ $3$ $81$ $C_{68,8}$ $K_{23}$ $(0,u,1,1,u,3,0,1,0,1,1,3,u,1,3,u)$ $u+1$ $3$ $179$ $C_{68,9}$ $K_{3}$ $(1,0,0,3,u,3,u,3,1,3,3,3,1,1,1,u)$ $1$ $4$ $92$ $C_{68,10}$ $K_{3}$ $(u,u,3,3,1,1,1,1,3,0,3,3,1,1,0,u)$ $1$ $4$ $94$ $C_{68,11}$ $K_{4}$ $(1,u,1,0,u,u,1,u,1,1,0,u,u,u,1,1)$ $1$ $4$ $119$
New codes of length 68 as neighbors
 $D$ $C$ $x$ $\gamma$ $\beta$ $C_{68,12}$ $C_{68,11}$ $\left( 1010110101000110000001111110000011\right)$ 4 107 $C_{68,13}$ $C_{68,10}$ $\left( 1011111011101111011000100111110111\right)$ 4 115
 $D$ $C$ $x$ $\gamma$ $\beta$ $C_{68,12}$ $C_{68,11}$ $\left( 1010110101000110000001111110000011\right)$ 4 107 $C_{68,13}$ $C_{68,10}$ $\left( 1011111011101111011000100111110111\right)$ 4 115
 [1] Minjia Shi, Daitao Huang, Lin Sok, Patrick Solé. Double circulant self-dual and LCD codes over Galois rings. Advances in Mathematics of Communications, 2019, 13 (1) : 171-183. doi: 10.3934/amc.2019011 [2] Joe Gildea, Adrian Korban, Abidin Kaya, Bahattin Yildiz. Constructing self-dual codes from group rings and reverse circulant matrices. Advances in Mathematics of Communications, 2019, 0 (0) : 0-0. doi: 10.3934/amc.2020077 [3] Steven T. Dougherty, Joe Gildea, Abidin Kaya, Bahattin Yildiz. New self-dual and formally self-dual codes from group ring constructions. Advances in Mathematics of Communications, 2020, 14 (1) : 11-22. doi: 10.3934/amc.2020002 [4] Joaquim Borges, Steven T. Dougherty, Cristina Fernández-Córdoba. Characterization and constructions of self-dual codes over $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_4$. Advances in Mathematics of Communications, 2012, 6 (3) : 287-303. doi: 10.3934/amc.2012.6.287 [5] Suat Karadeniz, Bahattin Yildiz. Double-circulant and bordered-double-circulant constructions for self-dual codes over $R_2$. Advances in Mathematics of Communications, 2012, 6 (2) : 193-202. doi: 10.3934/amc.2012.6.193 [6] Steven T. Dougherty, Cristina Fernández-Córdoba, Roger Ten-Valls, Bahattin Yildiz. Quaternary group ring codes: Ranks, kernels and self-dual codes. Advances in Mathematics of Communications, 2020, 14 (2) : 319-332. doi: 10.3934/amc.2020023 [7] Nabil Bennenni, Kenza Guenda, Sihem Mesnager. DNA cyclic codes over rings. Advances in Mathematics of Communications, 2017, 11 (1) : 83-98. doi: 10.3934/amc.2017004 [8] Gabriele Nebe, Wolfgang Willems. On self-dual MRD codes. Advances in Mathematics of Communications, 2016, 10 (3) : 633-642. doi: 10.3934/amc.2016031 [9] Aicha Batoul, Kenza Guenda, T. Aaron Gulliver. Some constacyclic codes over finite chain rings. Advances in Mathematics of Communications, 2016, 10 (4) : 683-694. doi: 10.3934/amc.2016034 [10] Somphong Jitman, San Ling, Patanee Udomkavanich. Skew constacyclic codes over finite chain rings. Advances in Mathematics of Communications, 2012, 6 (1) : 39-63. doi: 10.3934/amc.2012.6.39 [11] Kanat Abdukhalikov. On codes over rings invariant under affine groups. Advances in Mathematics of Communications, 2013, 7 (3) : 253-265. doi: 10.3934/amc.2013.7.253 [12] Delphine Boucher, Patrick Solé, Felix Ulmer. Skew constacyclic codes over Galois rings. Advances in Mathematics of Communications, 2008, 2 (3) : 273-292. doi: 10.3934/amc.2008.2.273 [13] Eimear Byrne. On the weight distribution of codes over finite rings. Advances in Mathematics of Communications, 2011, 5 (2) : 395-406. doi: 10.3934/amc.2011.5.395 [14] Steven T. Dougherty, Cristina Fernández-Córdoba. Codes over $\mathbb{Z}_{2^k}$, Gray map and self-dual codes. Advances in Mathematics of Communications, 2011, 5 (4) : 571-588. doi: 10.3934/amc.2011.5.571 [15] Steven T. Dougherty, Esengül Saltürk, Steve Szabo. Codes over local rings of order 16 and binary codes. Advances in Mathematics of Communications, 2016, 10 (2) : 379-391. doi: 10.3934/amc.2016012 [16] Amita Sahni, Poonam Trama Sehgal. Enumeration of self-dual and self-orthogonal negacyclic codes over finite fields. Advances in Mathematics of Communications, 2015, 9 (4) : 437-447. doi: 10.3934/amc.2015.9.437 [17] Masaaki Harada, Akihiro Munemasa. Classification of self-dual codes of length 36. Advances in Mathematics of Communications, 2012, 6 (2) : 229-235. doi: 10.3934/amc.2012.6.229 [18] Stefka Bouyuklieva, Anton Malevich, Wolfgang Willems. On the performance of binary extremal self-dual codes. Advances in Mathematics of Communications, 2011, 5 (2) : 267-274. doi: 10.3934/amc.2011.5.267 [19] Nikolay Yankov, Damyan Anev, Müberra Gürel. Self-dual codes with an automorphism of order 13. Advances in Mathematics of Communications, 2017, 11 (3) : 635-645. doi: 10.3934/amc.2017047 [20] Delphine Boucher. Construction and number of self-dual skew codes over $\mathbb{F}_{p^2}$. Advances in Mathematics of Communications, 2016, 10 (4) : 765-795. doi: 10.3934/amc.2016040

2018 Impact Factor: 0.879

## Tools

Article outline

Figures and Tables